Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Производная и ее приложения




 

6.2.31–6.2.40.Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.


6.2.31. а)


lim


3 x ; б)


lim


arctg 3x;


x ® 0


x + 3 -

4


3 - x


x ® 0


sin 5x

æö2x+1


в) lim


3x + 5


; г)


lim


3 - 2x

.
ç ÷


x ® ¥ (2x2 - 1)2


x ® ¥ è 5 - 2xø


6.2.32. а)


lim

x ® 4


x +12 - 4 ; б)

x - 2


lim

x ® 0


tg 4 x ;

x + 1 -1

2 + x


2 3 æ ö


x
в) lim


(2 x + 1) + 3x; г)


lim


5 - 2 x

ç ÷ .


x ® ¥


x3- (2x -1)2

2


x ® 0 è 5 + 3xø


6.2.33. а)


lim


x - 25 ; б)


lim


tgx ;


x ® 5


x - 5

6


x ® 0 sin 2 2x

æö x+3


в) lim


2x - 7


; г)


lim


3x + 1

.
ç ÷


x ® ¥ (x3- 3)(2- x3)

3


x ® ¥ è 3x - 2 ø


6.2.34. а)


lim

x ® -1


x - 7 + 2 ; б)

x + 1


lim

x ® 1


sin( x -1) ;

x 2 - 1


3 æ ö


ç ÷ .
в) lim


(3x - 2) ; г)


lim


2 - x x


x ® ¥ (x2 + 1)(2- x)


x ® 0


è 2 + x ø


6.2.35. а)


lim


x - 4 ; б)


lim


arcsin x ;


x ® 2


x + 14 - 2


x + 2


x ® 0


3 + x -

2


x2-1


в) lim


( x - 3)(2 - x ) ; г)


lim


æ 2 x + 1 ö

è
÷ .


x ® ¥


(x -1)3


x ® ¥ çç 2x 2 + 3 ø


 

3 3


6.2.36. а)


lim


1 + x - 1 - x ; б)


lim


tg 2 x ;


x ® 0 x


x ® 0 5x2 - 9x


 

4 æ ö


x + 1


в) lim


5x - 6 x + 7 ; г)


lim


2 x + 1

x
.
ç ÷


x ® ¥


(x 2 - 3)2


x ® 0 è


x + 1ø


6.2.37. а)


lim


1 + 2 x - 1 - 3x; б)


lim


sin x ;


x ® 0 5x

 


x ® 0 arcsin3x

 


 

x2+5


в) lim


1 - 2 x - x ; г)


lim


æ 3x + 2 ö

÷


x ® ¥ (2+ x)2- 3x3


x ® ¥ çç 3x 2


.

è
-1 ø


 


6.2.38. а)


lim


x + 3 ; б)


lim


4 - x - 2 ;


x ® -35


1 - x - 2


4 - 7x


x ® 0


arcsin 2x


2 3 æ ö


ç ÷ .
в) lim


7 + x + x - 2 x ; г)


lim


x + 2 x


x ® ¥


(1 - x)3


x ® 0 è 3x+ 2 ø


 


6.2.39. а)


lim

x ® 0


1 + 2 x - 1 - 3x; б)

3x

 

2 2


lim

x ® p


tg 2 x ;

sin 3x

x+2

æö


в) lim


(x - 3)


+ 5 ; г)


lim


7x + 1

.
ç ÷


x ® ¥ (1- 2x2 )2+ 7


x ® ¥ è 7x - 1 ø


 


6.2.40. а)


lim

x ® 0


x + x ; б)

x + 1 - 1


lim

x ® 0


arcsin 2 x;

x + 1 -1


5 æ ö


ç ÷ .
в) lim


4 + x - x ; г)


lim


7 + x x


x ® ¥ 2 + x 2 - 3x5


x ® 0


è 7 - x ø


 

 

6.3.11–6.3.20.Задана функция у=f (х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.


ì x + 4,

í
6.3.11.f (x) = ïx2+ 2,

î
ï2x,

ì x + 2,

í
6.3.12. f (x) = ïx2 +1,

î
ï- x + 3,


x < -1;

-1 £ x < 1;

x ³ 1.

 

x £ -1;



-1 < x £ 1;

x > 1.


ì - x,

ï


x £ 0;


6.3.13.f (x) = í- (x -1)2 ,

î
ïx - 3,


0 < x < 2;

x ³ 2.


 


ì cosx,

í
6.3.14. f (x) = ïx2 +1,

î
ïx,

ì - x,

ï


x £ 0;

0 < x < 1;

x ³ 1.

 

x £ 0;


6.3.15.f (x) = íx2,

î
ïx +1,

ì - x,

ï
ís
6.3.16.f (x) = ï in x,

îx - 2,


0 < x £ 2;

x > 2.

 

x £ 0;

0 < x £ p ;

x > p .


 


ì- ( x +1),

í(
6.3.17.f (x) = ï x +1)2 ,


x £ -1;

-1 < x £ 0;


î
ïx,

ì- x2,

í
6.3.18.f (x) = ïtg x,

î
ï2,

ì - 2x,

í
6.3.19.
f (x) = ïx2 +1,

î
ï2,

ì- 2 x,

ï


x > 0.

 

x £ 0;

0 < x £ p / 4;

x > p / 4.

 

x £ 0;

0 < x £ 1;

x > 1.

 

x £ 0;


6.3.20.f (x) = í x ,

î
ï1,


0 < x < 4;

x ³ 4.


 


7.1.1–7.1.10.Найти производные


dyданных функций.

dx


7.1.1. a)

 

в)


y = arccos

 

x = 2t 2 + t,


x ;

 

y = ln t.


б) y = ln ctg x ;

3


 


7.1.2. a)


y = x


25 - x2+ 25arccos x ; б)


y = exp (ctg 2x);


 

в) x =


1 - t ;

1 + t 2


2 5

2 + t 2

y = .

t 2


7.1.3. а)


y = 1 ln

6


x - 3 ;

x + 3


б) y = arcctg [exp(5x)] ;


в) x = sin23t, y = cos23t .


7.1.4. a)


y = ln(x +


x 2 +1); б)


y = 1- cos 3x ; 1+ cos 3x


в) x = t4 + 2t, y = t2 + 5t .

2


7.1.5. a)


y = x x


+1+ arccos 1 ; б)

x 2


y = (x -1)exp (x 2 );


в) x = t – ln sint, y = t + ln cost .

1 2


7.1.6. a)


y = ctg


x + ln sin x;

 


б) y = exp(cos3x) .


в) x = tg t ,


y = .

sin2t


7.1.7. a)


y = ln( x -


x - 2 )+


x2- 2x;


б) y = 3x exp(-x-2) ;


в) x = t2 – t3, y = 2t3.

7.1.8. a) y = ln cos2x – ln sin2x ; б) в) x = cos3t , y = sin3t .

x -1


 

y = 2ctg


 

3x ;


7.1.9. a)


y = arccos


; б)

x + 1


y = ln ctg


x + 2 ;


в) x = 3sint, y = 3cos2t .


tg 3 x


ctg 2 x


æ 1 ö


7.1.10. a)


y = -


+ ln sin x; б)


y = x


exp ç ÷;


3 2 è x ø

в) x = 2t – t2 , y = 2t3.

 

7.2.51–7.2.60.Подобрать соответствующую функцию и найти ее экстремум.


7.2.51. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести ?

7.2.52. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

7.2.53. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей ?

7.2.54. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R ?

7.2.55. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R ?

7.2.56. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность ?

7.2.57. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света ?

7.2.58. В точках A и B, расстояние между которыми равно a, находятся источники света соответственно с силами FF2. На отрезке AB найти наименее освещенную точку M0.

Замечание. Освещенность точки источником света силой F обратно

пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света:

E = kF / r 2 , k = const.

7.2.59. Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка наибольшее сопротивление на изгиб ?

Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины x ее поперечного сечения на квадрат его высоты y: Q = kxy2 , k = const.

7.2.60. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна p1руб., а стенок – p2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

 

7.3.21–7.3.30.Методами дифференциального исчисления: а) исследовать


функцию y = f (x) для


"xÎR


и по результатам исследования построить ее


график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].


 

7.3.21. а)


y = 4 x

,
4 + x2


 

б) [–3; 3] .


 


 

7.3.22. а)


x 2 - 1

y = ,

x 2 + 1


 

б) [–1; 1] .


 


 

7.3.23.

а)


y = x ,


 

б) [–2; 2 ] .


 

 

7.3.24. а)


x 2 + 1

x 2 - 5

y = ,


 

 

б) [–2; 2] .


x - 3

 


 

7.3.25. а)


2 - 4x2

y = 1 - 4x2 ,


 

б) [ 1; 4] .


 


7.3.26. а)


y = (x -1)e3x+1,


б) [ 0; 1] .


 


 

7.3.27. а)


y = ln x ,

x


 

б) [ 1; 9] .


7.3.28. а)


 

y = e 2-x ,


б) [–1; 1] .


 


7.3.29. а)


y = xe


- x 2 ,


б) [–2; 2] .


 


 

7.3.30. а)


x2- 3

y
,
=


 

б) [–2; 2] .


x + 9

 





Читайте также:





Читайте также:
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...

©2015 megaobuchalka.ru Все права защищены авторами материалов.

Почему 3458 студентов выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.064 сек.)