Краткие теоретические сведения. В практике обработки экспериментальных данных могут быть ситуации

В практике обработки экспериментальных данных могут быть ситуации, когда применение лагранжевой аппроксимации (например, полиномиальной) не оправдано или в принципе невозможно.

Примером такой ситуации могут служить случаи, когда набор экспериментальных данных был получен со значительной погрешностью, либо на измеряемую (зависимую) величину влияли некоторые дополнительные, не учитываемые факторы. Для демонстрации этой ситуации на левом рисунке представлены экспериментальные точки, истинная неизвестная кривая f(x) и аппроксимирующая кривая (x), полученная одним из методов лагранжевой аппроксимации.

.

На рисунке представлена ситуация, когда экспериментальные замеры в каждом узле проводились неоднократно и, вследствие указанных выше причин, дали разные результаты. В этом случае применение лагранжевой аппроксимации в принципе невозможно, так как каждому узлу соответствует несколько разных значений

В этих условиях требуется проводить аппроксимирующую кривую, которая не обязательно проходит через узловые точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость и сглаживает возможные выбросы, возникшие из-за погрешности эксперимента.

Считаем известными значения экспериментальных данных в узлах и через (x) обозначим непрерывную аппроксимирующую функцию. В узлах значения функций и будут отличаться на величину . Отклонения могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат, а для оценки близости функций (x) и f(x) возьмем сумму этих квадратов

(4.11)

Метод построения аппроксимирующей функции (x) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов ( далее - МНК).

Наиболее распространен способ выбора функции (x) в виде линейной комбинации , где , , …, - базисные функции; ; с₀,с₁,…,с_m - коэффициенты, определяемые при минимизации величины Q. Величину Q можно рассматривать как функцию нескольких переменных с₀,с₁,…,с_m, т.е. Q= Q(с₀,с₁,…,с_m). Минимум такой функции, как известно, достигается при равенстве нулю всех частных производных , i=0,1,2,…,m:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Путем несложных математических выкладок эту систему уравнений можно преобразовать к виду:

	(*)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

где , - скалярные произведения функций:

, .

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функцииf(x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, симметричность, наличие асимптот и т.д.

Здесь рассмотрим частный случай, когда аппроксимирующая функция имеет вид наклонной прямой линии . Такую функцию можно представить как линейную комбинацию двух базисных функций (x)=A ₀(x)+B ₁(x), где , .

Решение системы (*), расписанной для коэффициентов А и В имеет вид:

,

где символ "надчеркивание" обозначает среднее значение: , т.е.

	- среднее значение узловых точек аппроксимации;
	- средний квадрат значений узловых точек аппроксимации;
	- среднее значение аппроксимируемой функции в узловых точках;
	- среднее произведений значений аппроксимируемой функции в узловых точках на значения соответствующих узловых точек.

Если требуется построить аппроксимирующую функцию, имеющую нелинейный характер относительно независимой переменной x, то иногда удается перейти к линейной зависимости.

Например, пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде .

Прологарифмируем значения аппроксимируемой функции f (x) в узловых точках: , i=0,1,2,…,n и для реализации найдем линейную аппроксимирующую функцию . Формулы для и в этом случае выглядят так:

,

где - среднее значение логарифмов аппроксимируемой функции в узловых точках.

Чтобы теперь осуществить переход от функции к функции , надо пропотенцировать обе части равенства :

Величину обозначим , а коэффициенты С и D, входящие в (4.21), вычисляются по формулам:

.

Следовательно, последовательность действий при аппроксимации экспоненциальной зависимостью выглядит так:

1) вычисление логарифмов значений аппроксимируемой функции ;

2) вычисление коэффициентов и ;

3) вычисление коэффициентов С и D;

4) вычисление значений функции при необходимых значениях х.

Задание

Изучить теоретический материал: метод наименьших квадратов.

По имеющемуся набору экспериментальных данных о зависимости F(x) построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую зависимость H(x) в виде H(x)=Ce^Dx. Построить диаграмму с графиком функции H(x) на интервале аппроксимации в виде непрерывной линии и значениями аппроксимируемой функции F(x) в узловых точках.

Для защиты контрольной работы представить на компьютере EXCEL-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете по задаче 3 представить:

- полную запись найденной функции H(x);

- ответы на контрольные вопросы.

Пример решения задачи

A1’Аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов

A2’Исходные данные Объединить клетки A2,B2.

C2’Экспоненциальная зависимость Объединить клетки C2:F2, центрировать по горизонтали.

A3’x B3’F(x) C3’x*x D3’lnF E3’X*lnF F3’H(x)

Вводим исходные данные из таблицы индивидуальных заданий: в клетки A4:A23 - данные по x , в B4:B23 - по F(x)

Найдем средние значения необходимых величин:

A24’Средние Объединить клетки A24:E24, центрировать по горизонтали.

A25=СРЗНАЧ(A4:A23) Копируем A25 в С25:Е25.

Вычислим коэффициенты экспоненциальной модели C и D:

D26’C= D27’D= Прижать к правому краю.

E26=EXP(D25-E27*A25) E27=(A25*D25-E25)/(A25*A25-C25)

Построим графики аппроксимируемой и аппроксимирующей зависимостей:

Выделим диапазон A3:B23 и при нажатой клавише Ctrl диапазон F3:F23.

Далее – Вставка→Диаграммы→Точечная→гладкая линия

Встать мышкой на график F(x), нажать на правую кнопку мышки, выбрать «Изменить тип диаграммы → отдельные точки.

Полученная в результате описанных действий электронная таблица представлена ниже.

	A	B	C	D	E	F
	Аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов
	Исходные данные	Экспоненциальная зависимость
	x	F(x)	x*x	ln F	x lnF	H(x)
		2,4962		0,91477	0,91477	2,891491
		2,7777		1,021623	1,021623	2,891491
		3,2303		1,172575	1,172575	2,891491
	1,4	3,6873	1,96	1,304894	1,826852	3,225252
	1,8	3,1263	3,24	1,13985	2,05173	3,597539
	1,8	4,0496	3,24	1,398618	2,517513	3,597539
	2,2	4,0617	4,84	1,401602	3,083524	4,012798
	2,2	4,187	4,84	1,431984	3,150366	4,012798
	2,6	4,5722	6,76	1,519994	3,951986	4,47599
		4,6821		1,543747	4,63124	4,992648
	3,4	5,098	11,56	1,628848	5,538084	5,568943
	3,4	5,294	11,56	1,666574	5,666352	5,568943
	3,4	5,314	11,56	1,670345	5,679172	5,568943
	3,8	6,802	14,44	1,917217	7,285423	6,211759
	3,8	5,9254	14,44	1,779248	6,761143	6,211759
	4,2	7,1601	17,64	1,968524	8,267801	6,928774
	4,2	7,3484	17,64	1,994483	8,376827	6,928774
	4,2	6,9879	17,64	1,94418	8,165556	6,928774
	4,6	7,4138	21,16	2,003343	9,215378	7,728553
		8,9416		2,190715	10,95357	8,62065
	Средние
	2,9		9,976	1,580657	5,011574
				С=	2,2005
				D=	0,2731

В качестве результата получили:

Экспоненциальная аппроксимирующая функция имеет вид:

H(x) = 2,2005 e^0,2731x

Таблица индивидуальных заданий

4.6. Контрольные вопросы

1. В каких случаях целесообразно использовать для аппроксимации метод наименьших квадратов?

2. Что минимизируется в методе наименьших квадратов?

3. Зачем в методе наименьших квадратов величина e берется в квадрате?

4. От чего зависит выбор базисных функций в методе наименьших квадратов?

5. Какие базисные функции используются при линейной аппроксимации МНК?

6. Как получены формулы для коэффициентов C и D при экспоненциальной аппроксимации?

ЗАДАЧА 4. Вычисление определенных интегралов