Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Проективная плоскость и ее модели




БИЛЕТ №16

Проективное пространство – некоторое непустое множество Р элементов, называемых точками, в предположении, что задано отображение f: , которое удовлетворяет аксиомам проективного пространства:

1) Отображение f сюръективно, т.е. любой элемент из Р имеет хотя бы один прообраз.

2) Равенство вып-ся тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Здесь — множество ненулевых векторов некоторого векторного пространства V.

Если найдено конкретное множество Р и конкретное отображение f, то говорят, что построена интерпретация (реализация) данной си­стемы аксиом. Само множество Р называется моделью проективного пространства. Рассмотрим некоторые модели проективной плоскости.

1. Пусть А3 — трехмерное аффинное пространство над вектор­ным пространством V. Обозначим через Р2 множество всех прямых пространства А3, проходящих через некоторую фиксированную точку О (связка прямых с центром в точке О). Рассмотрим отображение по следующему закону: ненулевому векто­ру из V поставим в соответствие прямую, проходящую через точку О и параллельную вектору . Отображение f удовлетворяет аксиомам проективного пространства, поэтому Р2 — модель проективной плоскости. В этой модели., проективными точками являются прямые связки с центром О, а проективными прямыми — множество всех прямых, проходящих через точку О и лежащих в некоторой плоскости.

2. Построим другую модель проективной плоскости, основанную на понятии расширенного евклидова пространства. Пусть — расширенная плоскость трех­мерного расширенного евклидова пр-ва над векторным пр-вом V. Возьмем собственную точку О этого пространства, не лежащую в плоскости , и рассмотрим отображение по следующему закону: каждому ненулевому вектору из V поставим в соответствие точку, в которой прямая, проходящая через О па­раллельно вектору а, пересекает плоскость (рис.). Так как любая прямая, проходящая через точку О, пересекает плоскость в собственной или несобственной точке, то каждому ненулевому вектору ставится в соответствие некоторая (собственная или несобственная) точка плоскости . На рис. вектору соответствует собственная точка А, а вектору — несобственная точка .



Примем теперь новое соглашение: собственные и несобственные точки плоскости будем считать равноправными; их будем называть просто проективными точками. Если через Р2 обозначить множество всех проективных точек, то f есть отображение множества векторов на множество Р2. Это отображение удовлетворяет аксиомам проективного пространства, поэтому P2 — модель проективной плоскости. В этой модели точками являются проективные точки, т. е. собственные и несобственные точки расширенной пло­скости , а прямыми — проективные прямые, т. е. обычные (собствен­ные) прямые плоскости , каждая из которых пополнена несобствен­ной точкой, и несобственная прямая плоскости .

Деление с остатком

Ограничимся рассмотрением многочленов с одним аргу­ментом над данным числовым полем.

Теорема. Каковы бы ни были два многочлена (над данным полем)

f(x)=anxn+ an–1 xn–1+…+ a1 x+a0

и φ(x)= bmxm+ bm–1 xm–1+…+ b1 x+b0

причем φ(x)≠0, существует (над тем же полем) единственная пара многочленов q(x) и r(х), удовлетворяющих следующим условиям:

1°. степень r(х) меньше m или r(x)=0,

2°. имеет место тождество:

f(x)≡q(x)φ(x) + r(x). (1)

Многочлены q(x) и r(x) называются соответственно непол­ным частным и остатком.

Нахождение многочленов q(x) и r(х) называется делением с остатком многочлена f(x) на многочлен φ(x).

Доказательство. Если т>п, то тождество (1) удовлет­воряется при q(x)≡0 и r(x) ≡f(x). Пусть п ≥ m; разделим старший член апхп многочлена f(x) на старший член bтхт многочлена φ(x), умножим полученное частное на φ(x) и вычтем произведение из f(x): (2)

где и т.д., откуда: f(x)=(αn/bm)xnmφ(x)+R1(x)

где R1(x) многочлен, находящийся в правой части тождества (2). Этот многочлен называется первым остатком отделения f(х) на φ(x). Пусть п1 степень первого остатка и а'п1 его стар­ший коэффициент (если а’п–1 0, то п1 = п—1).

Если п1 ≥m, то, поступив с R1(x) так же, как с f(x), получим:

и

Многочлен R2(х) называется вторым остатком от деле­ния f(x) на φ(х) и т. д. Для получения последующего остатка надо старший член предыдущего остатка разделить на старший член многочлена φ(x), умножить на полученное частное много­член ф('я) и вычесть произведение из предыдущего остатка. Опи­санный процесс можно продолжать, пока не получится в остатке многочлен Rk(x) степени более низкой, чем m, либо Rk≡0. В результате этого процесса получится тождество (1), где и r(x)=Rk(x)Согласно изложенному, деление с остатком заключается в переходе от делимого к первому остатку, от первого остатка ко второму и т. д. при помощи единообразного выполнения одних и тех же операций. Обычно эти операции выполняются при по­мощи известной схемы (деление «углом»), __________________________





Читайте также:





Читайте также:
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...

©2015 megaobuchalka.ru Все права защищены авторами материалов.

Почему 3458 студентов выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.007 сек.)