Проективная плоскость и ее модели
БИЛЕТ №16 Проективное пространство – некоторое непустое множество Р элементов, называемых точками, в предположении, что задано отображение f: , которое удовлетворяет аксиомам проективного пространства: 1) Отображение f сюръективно, т.е. любой элемент из Р имеет хотя бы один прообраз. 2) Равенство вып-ся тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Здесь — множество ненулевых векторов некоторого векторного пространства V. Если найдено конкретное множество Р и конкретное отображение f, то говорят, что построена интерпретация (реализация) данной системы аксиом. Само множество Р называется моделью проективного пространства. Рассмотрим некоторые модели проективной плоскости. 1. Пусть А3 — трехмерное аффинное пространство над векторным пространством V. Обозначим через Р2 множество всех прямых пространства А3, проходящих через некоторую фиксированную точку О (связка прямых с центром в точке О). Рассмотрим отображение по следующему закону: ненулевому вектору из V поставим в соответствие прямую, проходящую через точку О и параллельную вектору . Отображение f удовлетворяет аксиомам проективного пространства, поэтому Р2 — модель проективной плоскости. В этой модели., проективными точками являются прямые связки с центром О, а проективными прямыми — множество всех прямых, проходящих через точку О и лежащих в некоторой плоскости. 2. Построим другую модель проективной плоскости, основанную на понятии расширенного евклидова пространства. Пусть — расширенная плоскость трехмерного расширенного евклидова пр-ва над векторным пр-вом V. Возьмем собственную точку О этого пространства, не лежащую в плоскости , и рассмотрим отображение по следующему закону: каждому ненулевому вектору из V поставим в соответствие точку, в которой прямая, проходящая через О параллельно вектору а, пересекает плоскость (рис.). Так как любая прямая, проходящая через точку О, пересекает плоскость в собственной или несобственной точке, то каждому ненулевому вектору ставится в соответствие некоторая (собственная или несобственная) точка плоскости . На рис. вектору соответствует собственная точка А, а вектору — несобственная точка . Примем теперь новое соглашение: собственные и несобственные точки плоскости будем считать равноправными; их будем называть просто проективными точками. Если через Р2 обозначить множество всех проективных точек, то f есть отображение множества векторов на множество Р2. Это отображение удовлетворяет аксиомам проективного пространства, поэтому P2 — модель проективной плоскости. В этой модели точками являются проективные точки, т. е. собственные и несобственные точки расширенной плоскости , а прямыми — проективные прямые, т. е. обычные (собственные) прямые плоскости , каждая из которых пополнена несобственной точкой, и несобственная прямая плоскости . Деление с остатком Ограничимся рассмотрением многочленов с одним аргументом над данным числовым полем. Теорема. Каковы бы ни были два многочлена (над данным полем) f(x)=anxn+ an–1 xn–1+…+ a1 x+a0 и φ(x)= bmxm+ bm–1 xm–1+…+ b1 x+b0 причем φ(x)≠0, существует (над тем же полем) единственная пара многочленов q(x) и r(х), удовлетворяющих следующим условиям: 1°. степень r(х) меньше m или r(x)=0, 2°. имеет место тождество: f(x)≡q(x)φ(x) + r(x). (1) Многочлены q(x) и r(x) называются соответственно неполным частным и остатком. Нахождение многочленов q(x) и r(х) называется делением с остатком многочлена f(x) на многочлен φ(x). Доказательство. Если т>п, то тождество (1) удовлетворяется при q(x)≡0 и r(x) ≡f(x). Пусть п ≥ m; разделим старший член апхп многочлена f(x) на старший член bтхт многочлена φ(x), умножим полученное частное на φ(x) и вычтем произведение из f(x): (2) где и т.д., откуда: f(x)=(αn/bm)xn–mφ(x)+R1(x) где R1(x) многочлен, находящийся в правой части тождества (2). Этот многочлен называется первым остатком отделения f(х) на φ(x). Пусть п1 степень первого остатка и а'п1 его старший коэффициент (если а’п–1 ≠0, то п1 = п—1). Если п1 ≥m, то, поступив с R1(x) так же, как с f(x), получим: и Многочлен R2(х) называется вторым остатком от деления f(x) на φ(х) и т. д. Для получения последующего остатка надо старший член предыдущего остатка разделить на старший член многочлена φ(x), умножить на полученное частное многочлен ф('я) и вычесть произведение из предыдущего остатка. Описанный процесс можно продолжать, пока не получится в остатке многочлен Rk(x) степени более низкой, чем m, либо Rk≡0. В результате этого процесса получится тождество (1), где и r(x)=Rk(x)Согласно изложенному, деление с остатком заключается в переходе от делимого к первому остатку, от первого остатка ко второму и т. д. при помощи единообразного выполнения одних и тех же операций. Обычно эти операции выполняются при помощи известной схемы (деление «углом»), __________________________
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1747)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |