Нулевая и альтернативная гипотезы

Познакомимся с терминологией, применяемой при проверке гипотез.

· Но – нулевая гипотеза (гипотеза скептика) это гипотеза об отсутствии различий между сравниваемыми выборками. Скептик считает, что различия между выборочными оценками, полученными по результатам исследований – случайны

· Н₁ – альтернативная гипотеза (гипотеза оптимиста) это гипотеза о наличии различий между сравниваемыми выборками. Оптимист считает, что различия между выборочными оценками вызваны объективными причинами и соответствуют различиям генеральных совокупностей

Проверка статистических гипотез осуществима только тогда, когда из элементов сравниваемых выборок можно составить некоторую величину (критерий), закон распределения которой в случае справедливости Н₀ известен. Тогда для этой величины можно указать доверительный интервал, в который с заданной вероятностью Р_д попадает ее значение. Этот интервал называют критической областью. Если значение критерия попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н₀. В противном случае принимается гипотеза Н₁.

В медицинских исследованиях используют Р_д = 0,95 или Р_д = 0,99. Этим значениям соответствуют уровни значимости a = 0,05 или a = 0,01.

При проверке статистических гипотез уровнем значимости (a) называется вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она верна.

Обратите внимание на то, что по своей сути процедура проверки гипотез направлена на обнаружение различий, а не на подтверждение их отсутствия. При выходе значения критерия за пределы критической области мы можем с чистым сердцем сказать «скептику» – ну что Вы еще хотите?! Если бы различия отсутствовали, то с вероятностью 95% (или 99%) расчетное значение было бы в указанных пределах. Так ведь нет!...

Ну а если значение критерия попадает в критическую область, то нет никаких оснований считать что гипотеза Н₀.верна. Это, скорее всего, указывает на одну из двух возможных причин.

а) Объемы выборок недостаточно велики, чтобы обнаружить имеющиеся различия. Вполне вероятно, что продолжение экспериментов принесет успех.

б) Различия есть. Но они настолько малы, что не имеют практического значения. В этом случае продолжение экспериментов не имеет смысла.

Перейдем к рассмотрению некоторых статистических гипотез, используемых в медицинских исследованиях.

§ 3.6. Проверка гипотез о равенстве дисперсий,
F – критерий Фишера

В некоторых клинических исследованиях о положительном эффекте свидетельствует не столько величина исследуемого параметра, сколько его стабилизация, уменьшение его колебаний. В этом случае возникает вопрос о сравнении двух генеральных дисперсий по результатам выборочного обследования. Эта задача может быть решена с помощью критерия Фишера.

Постановка задачи

Получены две выборки {Х₁} и {X₂}, извлеченные из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения. Объемы выборок n₁ и n₂, а выборочные дисперсии равны соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные дисперсии.

Проверяемые гипотезы:

Н₀ – генеральные дисперсии одинаковы;

Н₁ –генеральные дисперсии различны.

Показано, если выборки извлечены из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения, то при справедливости гипотезыН₀ отношение выборочных дисперсий подчиняется распределению Фишера. Поэтому в качестве критерия для проверки справедливости Н₀ берется величина F, вычисляемая по формуле

_, (3.9)

где - выборочные дисперсии.

Это отношение подчиняется распределению Фишера с числом степеней свободы числителя n₁ = n₁ -1, ичислом степеней свободы знаменателя n₂ = n₂ -1. Границы критической области находятся по таблицам распределения Фишера или с помощью компьютерной функции FРАСПОБР.

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: n₁ = n₂ = 20 – 1 = 19; F = 2,16/4,05 = 0,53. При a = 0,05 границы критической области равны соответственно: F_лев = 0.40, F_прав = 2.53.

Значение критерия попало в критическую область, поэтому принимается гипотеза Н₀: генеральные дисперсии выборок одинаковы.

§ 3.7. Проверка гипотез относительно равенства средних,
t- Критерий Стьюдента

Задача сравнения средних двух генеральных совокупностей возникает, когда практическое значение имеет именно величина исследуемого признака. Например, когда сравниваются сроки лечения двумя различными методами, или количества осложнений, возникающих при их применении. В этом случае можно использовать t-критерий Стьюдента.

Постановка задачи.

Получены две выборки {Х₁} и {X₂}, извлеченные из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковыми дисперсиями. Объемы выборок n₁ и n₂, выборочные средние равны , а выборочные дисперсии – , соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные средние.

Проверяемые гипотезы:

Н₀ – генеральные средние одинаковы;

Н₁ –генеральные средние различны.

Показано, что в случае справедливости гипотезы Н₀ величина t, вычисляемая по формуле

, (3.10)

распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы n = n₁ + n₂ – 2.

Здесь где n₁ = n₁ - 1 – число степеней свободы для первой выборки; n₂ = n₂ – 1 – число степеней свободы для второй выборки.

Границы критической области находят по таблицам t-распределения или с помощью компьютерной функции СТЬЮДРАСПОБР. Распределение Стьдента симметрично относительно нуля, поэтому левая и правая границы критической области одинаковы по модулю и противоположны по знаку: -t_гр и t_гр.

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: n₁ = n₂ = 20 – 1 = 19; t = –2.51, n= 38. При a = 0,05 t_гр = 2.02.

Значения критерия выходит за левую границу критической области поэтому принимаем гипотезу Н₁: генеральные средние различны. При этом среднее генеральной совокупности первой выборки меньше.