Применимость t-критерия Стьюдента

Критерий Стьюдента применим только к выборкам из нормальных совокупностей с одинаковыми генеральными дисперсиями. Если хотя бы одно из условий нарушено, то применимость критерия сомнительна. Требование нормальности генеральной совокупности обычно игнорируют, ссылаясь на центральную предельную теорему. Действительно, разность выборочных средних, стоящая в числителе (3.10), может считаться нормально распределенной при n > 30. Но вопрос о равенстве дисперсий проверке не подлежит, и ссылки на то, что «критерий Фишера не обнаружил различий» принимать во внимание нельзя. Тем не менее, t-критерий достаточно широко применяется для обнаружения различий в средних значениях генеральных совокупностей, хотя и без достаточных оснований.

Ниже рассматривается непараметрический критерий который с успехом используют для этих же целей, и который не требует ни нормальности ни равенства дисперсий.

§ 3.8. Непараметрическое сравнение двух выборок:
критерий Манна-Уитни

Непараметрические критерии предназначены для обнаружения различий в законах распределения двух генеральных совокупностей. Критерии, которые чувствительны к различиям генеральных срекдних, называют критериями сдвига. Критерии, которые чувствительны к различиям генеральных дисперсий, называют критериями масштаба. Критерий Манна-Уитни относится к критериям сдвига и используется для обнаружения различий в средних значениях двух генеральных совокупности, выборки из которых представлены в ранговой шкале. Измеренные признаки распологаются на этой шкале в порядке возрастания, а затем нумеруются целыми числами 1, 2, ...Эти числа и называются рангами. Равным величинам присваивают одинаковые ранги. Значение имеет не сама величина признака, а лишь порядковое место, который она занимает среди других величин. В таблице 3.5. первая группа из таблицы 3.4 представлена в развернутом виде (строка 1), подвергнута ранжированию (стока 2), а затем ранги одинаковых величин, заменены на среднеарифметическими значениями. Например элементы 4 и 4, стоящие в первой строке, получили ранги 2 и 3, которые затем заменены на одинаковые значения 2,5.

Таблица 3.5

Постановка задачи

Независимые выборки {Х₁} и {X₂} извлечены из генеральных совокупностей с неизвестными законами распределения. Объемы выборок n₁ и n₂, соответственно. Значения элементов выборок представлены в ранговой шкале. Требуется проверить, различаются ли эти генеральные совокупности между собой?

Проверяемые гипотезы:

Н₀ – выборки принадлежат к одной генеральной совокупности.

Н₁ – выборки принадлежат к различным генеральным совокупностям.

Для проверки таких гипотез применяется Т–критерий Манна-Уитни.

Сначала из двух выборок составляется объединенная выборка {X}, элементы которой ранжируются. Затем находится сумма рангов, соответствующих элементам первой выборки. Эта сумма и является критерием для проверки гипотез.

Т = Сумма рангов первой выборки (3.11)

Для независимых выборок, объемы которых больше 20, сумма величина Т подчиняется нормальному распределению, математическое ожидание и СКО которого равны:

. (4)

Поэтому границы критической области находятся по таблицам нормального распределения.

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: n₁ = n₂ = 20 – 1 = 19, Т = 339, m = 410, s = 37. Для a = 0,05 получим: Т_лев = 338, Т_прав = 482.

Значение критерия находится выходит за левую границу критической области, поэтому принимается гипотеза Н₁: генеральные совокупности имеют различные законы распределения. При этом среднее генеральной совокупности первой выборки меньше.