Что необходимо знать и уметь на данный момент?
– Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Не выучить, не зазубрить, а именнопонять хотя бы на общем, интуитивном уровне. Поэтому, если пределы сродни китайской грамоте, пожалуйста, начните с базового урока Пределы. Примеры решений, а также загляните в справку Графики и свойства элементарных функций, где я проиллюстрировал геометрический смысл понятия. – Необходимо уметь использовать основные методы решения пределов и справляться с наиболее распространёнными заданиями. Очень хорошо, если кроме примеров моих первых двух уроков, вы порешали (или попытались порешать) что-нибудь дополнительно. Есть? Едем дальше. Начнём с пары вопросов, которые вызвали недопонимание у некоторых посетителей сайта. За 2 года в отзывах и личной переписке мне удалось выяснить те моменты, которые недостаточно подробно рассмотрены в ранних статьях. И сейчас самое время акцентировать на них внимание. Первый вопрос затрагивает саму сущность предела. В черновой версии урока я даже процитировал Винни-Пуха: «Куда идём мы с Пятачком, большой-большой секрет». Но потом убрал… нехорошо как-то… выходит все, кто этого не понял – медведи с опилками в голове. «Чему равен предел ?» (пример условный) Действительно, чему? Здесь не указано, куда стремится «икс», и такая запись не имеет смысла: Предел функции не летает где-то по воздуху на воздушном шаре, он может существовать (или не существовать) только в определённой точке (в частности, в точке или ). Например: Заодно вспоминаем примитивный, но важный приём – чтобы вычислить предел, сначала нужно попытаться подставить значение «икс» в функцию. В случае с бесконечностью очевидно, что: Иными словами, если , то функция неограниченно возрастает. А вот следующего предела не существует: Значение не входит в область определения функции (под корнем получается «минус»). рАвно не существует и такого предела: Тут «икс» стремится к «минус бесконечности», и под корнем нарисуется бесконечно большоеотрицательное число. Итак, в природене существует «просто предела». Предел может существовать (или не существовать) лишь в определённой точке, в частности, в точке «плюс бесконечность» или «минус бесконечность». В процессе оформления практических примеров постарайтесь придерживаться следующей рекомендации: не допускайте неполной записи вроде , это одна из самых скверных оплошностей. Презумпция виновности студента утверждает, что он либо совсем не в теме, либо откуда-то впопыхах списал пример. Второй вопрос касается путаницы с неопределённостями, которые возникают в ходе решения более сложных пределов. Систематизируем информацию: Что в пределах функций ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью Прежде всего, перед решением любого предела, обязательно выполняем подстановку «икса» в функцию – неопределённости может и не быть! Однако сладостей много вредно, и на первых двух уроках мы сталкивались со следующими неопределённостями: Кроме указанных видов, существует довольно распространённая неопределённость («бесконечность минус бесконечность»), которую мы подробно разберём в этой статье, и совсем редко встречаются неопределённости . Для того чтобы устранить неопределённость, как вы знаете, необходимо использовать некоторые правила и методы решения пределов. Теперь о том, ЧТО НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью. Неопределённостью не является: – Любая определённость =) – Бесконечно малое число, делённое на ненулевую константу: . Сюда же можно отнестибесконечно малое число, делённое на бесконечно большое число: – Ненулевая константа, делённая на бесконечно малое число, например: . – Начинающие изучать математический анализ, часто пытаются устранить мифическую неопределённость . Но все попытки тщетны, поскольку это определённость: Примечание: знак можно записать и без «плюса»: . Это равноценные обозначения, и на практике используют оба варианта. Для более чёткого изложения в ряде примеров я буду ставить знак «плюс». – Число, не равное единице, в бесконечно большой степени не является неопределённостью. Например: . В частности: . – Разность двух функций, каждая из которых стремится к нулю, например: . Таким образом, неопределённости «ноль минус ноль» тоже не существует – это определённость. Многие из перечисленных неопределённостей и определённостей уже встречались и ещё неоднократно встретятся на практике. До нового 2013-го года остаются считанные дни, и в качестве подарка я принёс увесистый ящик с петардами:
Порядок роста функции В данном параграфе будут разобраны пределы с многочленами, многочленами под корнем, когда или . Материал вам уже частично знаком, и настала пора разобраться в нём как следует. Давайте научимся находить решение в считанные секунды! Вычислим следующий предел: На базовом уроке Пределы. Примеры решений я рекомендовал рассуждать не совсем корректным способом: сначала «икс» равно 10, потом, 100, затем 1000, миллион и т.д. до бесконечности. В чём изъян такого подхода? Построим данную последовательность: Но на поверку впечатление кардинально ошибочно. В этой связи необходимо знать теорию матана, а именно, некоторые выкладки о порядке роста функции. Применительно к нашему примеру можно сказать, что слагаемое обладает более высоким порядком роста, чем сумма . Иными словами, при достаточно больших значениях «икс» слагаемое «перетянет» на «плюс бесконечность» всё остальное: При небольших значениях «икс» – да, сладкая парочка перетягивает канат в сторону «минус бесконечности», что и привело нас к неверному первоначальному выводу. Но уже при получается гигантское положительное число . Если сильно уменьшить первое слагаемое, то от этого ничего не изменится: , будет лишь отсрочен тот момент, когда бравая дробь «вытянет» весь предел на «плюс бесконечность». Не поможет и «усиление противовеса»: Таким образом, кубическая функция имеет более высокий порядок роста, чем: – квадратичная функция; На простейшем примере поясню геометрический смысл вышесказанного. Представьте графики линейной , квадратичной и кубической функций (см. методичку Графики и свойства функций). Легко заметить, что при увеличении значений «икс», кубическая парабола взмывает вверх гораздо быстрее и круче, чем парабола и, тем более, прямая. Аналогичное правило можно сформулировать для любой степени: Степенная функция данной степени растёт быстрее, чем любая степенная функция более низкой степени. И быстрее, чем сумма любого количества степенных функций более низкой степени. Найдём предел Значение данного предела зависит только от слагаемого . Всё остальное МЫСЛЕННО отбрасываем: , и теперь ясно как день, что предел стремится к «минус бесконечности»: То есть, слагаемое более высокого порядка роста, чем всё остальное. У «хвоста» могут быть сколь угодно большие константы, другие знаки, но результат от этого НЕ ИЗМЕНИТСЯ.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2157)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |