Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Преобразование нелинейной модели к сепарабельному виду. Аппроксимация нелинейной сепарабельной функции кусочно-линейной функцией




Y=36x2-5x12+4x1x2-5x22 → max

При ограничениях:

x1+x2 ≤ 2

x1 ≤ 1/2

x1,2 ≥ 0

 

Функция является сепарабельной, если ее можно представить как сумму функций, каждая из которых зависит от одной переменной. Целевая функция данной задачи не является сепарабельной, т.к. содержит произведение двух переменных . Для приведения ее к сепарабельному виду необходимо ввести подстановку

В задачу также добавятся ограничения:

y1=1/2*x1+1/2*x2

z2=1/2*x1+1/2*x2

y­2-z2≥0

 

Тогда задача примет вид:

 

Определим верхние и нижние границы переменных х1, х2, z, y. Для этого решаем соответствующие задачи линейного программирования. В итоге получим:

 

/4

 

Для осуществления линеаризации выберем некоторую «сетку» значений x, построенную так:

Затем любое значение x будем выражать в виде некоторой средневзвешенной xk по правилу:

где веса lk удовлетворяют условиям:

 

Для выбора точек аппроксимации построим графики линеаризуемых функций.

 

Рисунок 3.1 -

 

Рисунок 3.2 -

 

Рисунок 3.3 -

 

Рисунок 3.4 -

 

Точки следует выбрать в соответствии со следующим правилом: чем менее линейна функция на определенном участке, тем выше должна быть плотность точек аппроксимации. Разбиения, принятые при решении данной задачи, приведены в таблице 3.3.1.

Таблица 3.3.1 – Сетка аппроксимации

Переменная Номера точек
 
x1 1/18 1/9 1/6 2/9 5/18 1/3 7/18 4/9 1/2
x2 2/9 4/9 2/3 8/9 10/9 4/3 14/9 16/9
y1 1/9 2/9 1/3 4/9 5/9 2/3 7/9 8/9
z1 -1 -7/8 -3/4 -5/8 -1/2 -3/8 -1/4 -1/8 1/4

 

Выразим переменные

Таблица 3.3.2

  U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10
x1 1/18 1/9 1/6 2/9 5/18 1/3 7/18 4/9 1/2
f(x1) -5/324 -5/81 -5/36 -20/81 -125/32 -5/9 -245/32 -80/81 -5/4
 
  V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
x2 2/9 4/9 2/3 8/9 10/9 4/3 14/9 16/9
f(x2) 628/81 1216/81 196/9 2272/81 2740/81 352/9 3556/81 3904/86
 
  S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10
y 1/9 2/9 1/3 4/9 5/9 2/3 7/9 8/9
f(y) 1/81 4/81 1/9 16/81 25/81 4/9 49/81 64/81
 
  T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
z -1 -7/8 -3/4 -5/8 -1/2 -3/8 -1/4 -1/8 1/4
f(z) 49/64 9/16 25/64 1/4 9/64 1/16 1/64 1/16
                       

 



 

 

Решение задачи сепарабельным симплекс-методом

 

Теперь, используя выбранные точки можно преобразовать нелинейные ограничения и нелинейную ЦФ к кусочно-линейному виду. К ограничениям также добавятся ограничения, обеспечивающие свойство весов смежных точек. В итоге получим задачу линейного программирования.

 

Максимизировать целевую функцию вида:

 

При ограничениях:

k = 1, 2, …, 10.

Полученную задачу решаем с помощью сепарабельного симплекс-метода. Сепарабельный симплексный алгоритм аналогичен обычному симплекс методу, за исключением необходимости соблюдения правила ограниченного ввода в базис, суть которого заключается в том, что оптимальное решение, полученное с использованием аппроксимирующей модели, содержит либо один вес lk, либо два соседних lk, lk+1.

Оптимизация исходной целевой функции и ее решение, с учетом правила ограниченного ввода в базис, приведены в приложении B.

Полученследующийрезультат:


 

Подставим полученные значения в исходную функцию и ограничения, получим:

Y = 21/5

Ответ:X = (1; 4/5); Y = 21/5


 





Читайте также:





Читайте также:
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...

©2015 megaobuchalka.ru Все права защищены авторами материалов.

Почему 3458 студентов выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.008 сек.)