Динамическая задача управления производственными запасами
Условие задачи:Рассматривается трехэтапная система управления запасами с дискретной продукцией и динамическим детерминированным спросом. Заявки потребителей на продукцию составляют на этапе j равен dj единиц (j = 1, 2, 3).К началу первого этапа на складе имеется только y1 единицы продукции. Затраты на хранение единицы продукции на этапе j равны hj. Затраты на производство xj единиц продукции на j-м этапе определяются Функцией ϕ=хj2+хj+5, j=1,2,3. Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наименьшими. Для этого необходимо составить математическую модель динамической задачи управления производством и запасами и решить ее методом динамического программирования, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса. Исходные данные приведены в табл.
Решение: Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляем F1(y2 ), F2 (y3 ), F3 (y4 ) и соответственно находим x1* (y2 ) , x2*(y3 ) , x3* (y4 ) . 1. Положим k=1, тогда согласно формуле: F1(y2 )=min(ax12+bx1+c+h1*y2) (3.1) имеем F1(y2 )=( x12+x1+5+ y2). Учтем, что согласно условия: 0 ≤y2≤d2+d3+…+dn (3.2) Параметр состояния у=у2 может принимать целые значения на отрезке 0≤y2≤ d2+d3, 0≤y2≤ 2+2=4, т.е. y2=0,1,2,3,4. При этом каждому значению параметра состояния должна отвечать определенная область изменения управления х1, характеризуемая условием: 0 ≤х1≤d1+y2, 0≤х1≤2+ y2. Однако объем производства на первом этапе х1 не может быть меньше 0, т.к. спрос d1=2, а исходный запас y1=2. Кроме того, из балансового уравнения: y1+x1-d1=y2 (3.3) непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра состояния y=y2 соотношением: х1=y2+d1-y1= y2+2-2= y2. В этом и состоит особенность первого этапа. Если задан уровень запаса к началу первого этапа, то каждому значению y2 отвечает единственное значение х1 и поэтому: F1(y2 )=W(y2,х1) Придавая х2 различные целые значения от 0 до 4 и учитывая х1= y2 находим: y2=0 х1=0 W(0;0)=02+0+5+0=5. y2=1 х1=1 W(1;1)=12+1+5+1=8 y2=2 х1=2 W(2;2)=22+2+5+2=13 y2=3 х1=3 W(3;3)=32+3+5+3=20 y2=4 х1=4 W(4;4)=42+4+5+4=29 Значения функции состояния F1(y2 ) представим в таблице 1. Таблица1.
2. Положим k=2 и табулируем функцию F2(y3 ) с помощью соотношения: Fk(y=yk+1)=min Wk(yk+1,хk), F2(y3 )= min(ax22+bx2+c+h2y3+ F1(y2 ))=min (x22+x2+5+2y3+ F1(y2 )), Здесь минимум берется по единственной переменной х2, которая может изменяться, согласно: 0≤хk≤dk+yk+1, 0≤х2≤d2+y3 или 0≤х2≤2+y3, Где верхняя граница зависит от параметра состояния y=y3, который принимает значения на отрезке: 0≤y3≤d3, т.е. 0≤y3≤2, А аргумент y2 в соотношении F2(y3 )= min (x22+x2+5+2y3+ F1(y2 )), связан с y3 и x2 балансовым уравнением: y2+х2-d2= y3, откуда y2= y3+ d2-х2= y3+ 2-х2. Придавая параметру состояния y=y3 различные состояния от 0 до 2, будем последовательно вычислять W2(y.x2), а затем определять F2(y3 ) и х2*(y). Положим что y= y3=2, тогда 0≤х2≤2+2=4, Т.е. х2 может принимать значения от 0 до 4 и каждому значению х2 отвечает определенное значение y2, вычисляемое по формуле: y2 = y3 +d2-х2, y2 = y3 +2-х2=2+2-х2=4-х2. Последовательно вычисляем: Если х2=0, то y2=4-0=4 W2(2,0)=02+0+5+2*2+F1(4)=5+4+29=38 х2=1, то y2=4-1=3 W2(2,1)=12+1+5+2*2+F1(3)=2+5+4+20=31 х2=2, то y2=4-2=2 W2(2,2)=22+2+5+2*2+F1(2)=15+13=28 х2=3, то y2=4-3=1 W2(2,3)=32+3+5+2*2+F1(1)=21+8=29 х2=4, то y2=4-4=0 W2(2,4)=42+4+5+2*2+F1(0)=29+5=34 Наименьшее значение из полученных W2- это F2(y3=2)=28, при чем минимум достигается при значении х2*(y3=2)=2. Аналогично делаем вычисления для значения параметра y=y3=0 и y=y3=1 и находим F2(y3=0) х2*(y3=0), F2(y3=1) х2*(y3=1). Если y=y3=0, 0≤х2≤2+0=2 х2 может принимать значения от 0 до 2 и каждому значению х2 отвечает определенное значение y2, вычисляемое по формуле: y2 = y3 +d2-х2, y2 = y3 +2-х2=0+2-х2=2-х2. Если х2=0, то y2=2-0=2 W2(0,0)=02+0+5+2*0+F1(2)=5+ 13=18 х2=1, то y2=2-1=1 W2(0,1)=12+1+5+2*0+F1(1)=2+5+8=15 х2=2, то y2=2-2=0 W2(0,2)=22+2+5+2*0+F1(0)=6+5+0+5=16 Наименьшее значение из полученных W2- это F2(y3=0)=15, при чем минимум достигается при значении х2*(y3=0)=1. Если y=y3=1,0≤х2≤2+1=3 х2 может принимать значения от 0 до 3 и каждому значению х2 отвечает определенное значение y2, вычисляемое по формуле: y2 = y3 +d2-х2, y2 = y3 +2-х2=1+2-х2=3-х2. Если х2=0, то y2=3-0=3 W2(1,0)=02+0+5+2*1+F1(3)=5+2+ 20=27 х2=1, то y2=3-1=2 W2(1,1)=12+1+5+2*1+F1(2)=2+5+2+13=22 х2=2, то y2=3-2=1 W2(1,2)=22+2+5+2*1+F1(1)=6+5+2+8=21 х2=3, то y2=3-3=0 W2(1,3)=32+3+5+2*1+F1(0)=12+5+2+5=24 Наименьшее значение из полученных W2- это F2(y3=1)=21, при чем минимум достигается при значении х2*(y3=1)=2. Внесем вычисленные данные в таблицу 2. Таблица2.
Результаты внесем в таблицу 3. Таблица3.
3. Полагаем k=3 и табулируем функцию F3(y4 ) F3(y4 )= min(ax22+bx2+c+h3y4+ F2(y3 ))=min (x22+x2+5+4y3+ F2(y3 )). Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента y=y4, т.к. не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода. F3(y4 )= min (x22+x2+5+4y3+ F2(y3 )) 0≤x3≤d3+y4, 0≤x3≤2+y4, y3=y4+d3-x3=0+2- x3=2- x3 Придавая параметру состояния y=y4=0, вычисляем W3(y;x3) и определяем F3(y4) и x3*(y). y=y4=0, 0≤х3≤2, т.е. х3 может принимать значения 0,1,2 и каждому значению х3 отвечает определенное значение y3=2-х3. Вычисления приведены в таблице 4. Таблица 4
Таким образом, получили наименьшие минимальные общие затраты на производство и хранение продукции W3- это F3(y4=0)=26, и последнюю компоненту оптимального плана х3=2. 4. Для нахождения остальных компонент оптимального решения, необходимо воспользоваться обычными правилами динамического программирования. Т.к. х3+y3-d3= y4, то 2+ y3-2=0, откуда y3=0, следовательно, из таблицы 3 - х2*=1. Т.к. х2+y2-d2= y3, то 1+ y2-2=0, откуда y2=1, следовательно, из таблицы 1 - х1*=1. Следовательно, получен оптимальный план производства, который имеет значения: х1=1, х2=1, х3=2 при этом оптимальный план производства обеспечивает минимальные общие затраты на производство и хранение продукции в размере 26 денежных единиц. 5. Самопроверка Проверяем выполняются ли заявки потребителей на каждом этапе : y1+х1≥d1 2+1>2 y2+х2≥d2 1+1=2 y3+х3≥d3 0+2=2 заявки выполняются. Суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности: y1+х1+х2+х3=d1+d2+d3, 2+1+1+2=2+2+2 6=6, причем это достигается при наименьших возможных затратах на производство и хранение продукции: ϕ(х1)+ ϕ(х2)+ ϕ(х3)+h1y2+h2y3=F3(y4=0), ϕ(х1)=х12+х1+5=1+1+5=7 ϕ(х2)=х22+х2+5=1+1+5=7 ϕ(х3)=х32+х1+5=22+2+5=11 7+7+11+1*1+2*0=26, 26=26
Ответ: Следовательно, получен оптимальный план производства, который имеет значения: х1=1, х2=1, х3=2 при этом оптимальный план производства обеспечивает минимальные общие затраты на производство и хранение продукции в размере 26 денежных единиц.
Литература 1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремер – М: ЮНИТИ,2000-407с. 2. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки-5-е изд., перераб. и доп. –М: Дело,2003-520с. 3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов эконом. спец. вузов.- М.: Высш. шк., 1986.-319с.,ил.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1563)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |