Тема 5. Дифференциальные уравнения
Задача 8.Решить уравнение у'−у tg x=−y2cos x. Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию у представим в виде произведения двух других функций: u=u(x) и υ=υ(х), то есть введем подстановку у= u·υ. Тогда у'=u'υ+uυ' и данное уравнение примет вид: u'υ+uυ'− uυ tg x=− u2 υ2 cos x или υ(u'−u tg x)+ uυ'=− u2 υ2 cos x (1) Выберем функцию u так, чтобы u'− u tg x=0 (2) При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид uυ'==− u2 υ2 cos x или υ'=− u υ2 cos x (3) Решая (2) как уравнение с разделяющими переменными, имеем: tg x d x, ln u=−ln cos x, u= . Здесь производная постоянная С=0. Подставляя найденное значение u в уравнение (3), имеем: . Тогда у= u·υ= − общее решение данного уравнения. Задача 9. Найти частное решение уравнения у''+4у=4sin2x-8cos2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у'(0)=0. Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения уодн однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть у = уодн+ . Для нахождения уодн составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде уодн= , (4) где − комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , , имеем: уодн= Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение = . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение = . Применяя эту теорему при , , имеем: =x(Acos2x+Bsin2x) Дважды дифференцируя последнее равенство, находим у'': у''=(4В−4Ах) cos2x+(−4А−4Вх) sin2x. Подставив в данное уравнение и у'', получим: 4В cos2x−4А sin2x=4 sin2x−8 cos2x, откуда А=−1, В=−2. Следовательно, =−х(cos2x+2sin2x) и у= −х(cos2x+2sin2x). Найдем у': у'=−2С1 sin2x+2С2 cos2x- cos2x-2sin2x-х(−2sin2x+4 cos2x). Используя начальные условия, получим систему Следовательно, у= есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.
Тема 6. Ряды
Задача 10.Написать первыетри члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала. Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, …, запишем данный ряд в виде:
Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера . Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству , или , или . Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При данный ряд принимает вид . Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при n→ ∞ . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит, принадлежит области сходимости данного ряда. При данный ряд принимает вид . Это обобщенный гармонический ряд. Так как , то ряд сходится. Значит, при x = исходный ряд сходится. Таким образом, - область сходимости данного ряда . Задача 11.Вычислить с точностью до 0,001. Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sin x на , имеем: Тогда
.
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (961)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |