A. Квадратичная функция (Эллипс)

Курсовой проект

“Моделирование процесса параметрической идентификации динамического объекта”

По дисциплине: математические модели

Вариант №7.

 

Выполнил:

студент группы 23504/21

Груздев К. С.

 

Преподаватель:

Леонтьева Т. В.

 

 

Санкт-Петербург

2013 год

 

Исходные данные:

 

 

Часть 1. Преобразование формулы и решение ее с помощью Метода Эйлера

 

 

Перейдём в вещественную форму:

 

Обозначим:

Получим систему уравнений в канонической форме:

Далее решаем систему методом Эйлера

А также, на каждом шаге подставив полученные значения, рассчитываем

 

Выберем шаг h=0.5, выполним необходимые вычисления и построим график функции.

Полученный график представлен на рис.1. По графику видно, что функция

y(t)-> к числу чуть больше 0. А выходит она из точки ~ -1500.
Узнаем точные значения этих точек. Для этого вычислим пределы:

= 30

= -1500

Некоторые значения y представлена в таблице 1 “ Зависимость значения функции от времени”.

Наилучший период наблюдения t=1...300, шаг h=0.5.

Взято 300 точек, т.к. уже на этом периоде наблюдения видно как график функции сходится к положительному числу около 0. График функции искажается при шаге больше 0.5 (при шаге больше 0,8 - расходится). А при меньшем шаге сходимость получим за большее число шагов. Поэтому выбран шаг h=0.5.

(рис.1)

Таблица 1

“Зависимость значения функции от времени”

t	y(t)
	-1500
	1130,33569982263
	-407,472269924090
	-131,811172218857
	546,368398013440
	-554,815355895296
	465,038634809155
	-156,677691301819
	-15,5099285734393
	218,653161918972
	-192,944828877209
	201,440561416127
	-48,6973993327229
	18,9739612829796
	98,5444137678508
	-54,7630972652742
	97,3519023534570
	-2,84302221765938
	28,2615453956948
	54,7510635292838
	-2,13806225774806
	56,3810973500383
	16,4104765802804
	30,2954912892119
	38,8749721864901
	17,8493005972232
	40,3035993332771
	24,4184897222613
	30,4841608516322
	33,1566814566145

Часть 2. Моделирование метода оптимизации.

МЕТОД ПОКООРДИНАТНОГО СПУСКА

Описание метода поиска

 

Метод предназначен для нахождения экстремума (минимума) функции ,

но в нашем случае: .

 

1. Задается начальная точка , отличная от точки минимума. Задаются точность (E) и шаг (h).

 

2. Далее выбираем координату (направление), по которой будем двигаться по функции:

 

а все остальные координаты фиксируем. И ищем минимальное значение функции как функцию одной переменной (Х₁)

 

В случае если новое значение функции больше предыдущего, то меняем шаг на противоположный (h = -h).

 

3. Когда находим значение координаты, при котором значение функции минимально, то выбираем другую координату, по которой будем двигаться по функции:

 

а все остальные координаты снова фиксируем.

 

Выбор остановки задан 4 условиями:

1.

2.

3.

4. Число обращений (итераций)

k_(f) > k_max

 

В данном случае я использовал 2 и 4 условия, т. к. 3 условие не подходит из-за того, что шаг постоянный, а 1 условие – затрачивает больше ресурсов.

 

2) Результаты работы программы:

a. Квадратичная функция (Эллипс)

Функция имеет вид

i. Начальная точка А0 (2, 2).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.2; %Шаг

a = 3;

b = 2;

 

(рис.2)

 

№ шага	X1	X2
	1,8
	1,6
	1,4
	1,2
	0,8
	0,6
	0,4
	0,2
	2,78E-16
	2,78E-16	1,8
	2,78E-16	1,6
	2,78E-16	1,4
	2,78E-16	1,2
	2,78E-16
	2,78E-16	0,8
	2,78E-16	0,6
	2,78E-16	0,4
	2,78E-16	0,2
	2,78E-16	2,78E-16

 

N = 21

ii.

b. функция Розенброка

Функция имеет вид:

i. Начальная точка А0 (2, 2).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.1; %Шаг

 

(рис.3)

 

№ шага	X1	X2
	1,9000
	1,8000
	1,7000
	1,6000
	1,5000
	1,4000

 

N = 7

 

ii. Начальная точка А0 (1, -4).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.1; %Шаг

 

(рис.4)

 

№ шага	X1	X2
		-4
	0,8	-4
	0,6	-4
	0,4	-4
	0,2	-4
	5,55E-17	-4
	5,55E-17	-3,8
	5,55E-17	-3,6
	5,55E-17	-3,4
	5,55E-17	-3,2
	5,55E-17	-3
	5,55E-17	-2,8
	5,55E-17	-2,6
	5,55E-17	-2,4
	5,55E-17	-2,2
	5,55E-17	-2
	5,55E-17	-1,8
	5,55E-17	-1,6
	5,55E-17	-1,4
	5,55E-17	-1,2
	5,55E-17	-1
	5,55E-17	-0,8
	5,55E-17	-0,6
	5,55E-17	-0,4
	5,55E-17	-0,2
	5,55E-17	1,28E-15
	0,2	1,28E-15

 

N = 27

 

Блок-схема основной программы:

 

Блок-схема функции

y = EllipseFunct_or_FunctRosenbrock(function_name, x_0_i, x_1_i, a, b):

 

 

 

Выводы ко второй части:

Ввиду того, что метод покоординатного спуска нулевого порядка, он довольно неточен. Из-за того, что функция розенброка имеет овражный рельеф, дойти до точки минимума не удалось, из-за. Точка остановки в этом случае была довольно далеко от точки минимума. В случае с функцией Эллипса точка минимума была достигнута за 21 итерацию, при шаге h = 0.2

Часть 3. Шум.

Создание ГСЧ и поиск модели зашумленного сигнала.

, т. к. y_max по модулю равен 1500 (> 500).

 

Проверка генератора «Треугольного шума» при N = 10000 и delta_y = 7.5:

(рис.5)

 

График Y теоретического и Y экспериментального (зашумленный график Y теоретического)

(рис.6)

 

Таблица 2

«Значения Yэкс в зависимости от шума»

№ точки	Yэкс(1), =0,005	Yэкс(2), =0,01	Yэкс(3), =0,02
	-1506,561	-1496,972	-1496,153
	85,083	84,577	88,712
	1245,416	1256,870	1264,160
	112,760	98,695	92,571
	-939,953	-938,000	-946,931
	-131,166	-132,577	-145,555
	775,672	777,251	796,285
	232,010	231,750	229,776
	-547,185	-551,959	-555,088
	-191,216	-194,543	-181,249
	465,503	455,118	452,909
	252,133	241,894	263,565
	-293,631	-286,842	-295,902
	-173,814	-186,403	-181,508
	264,253	267,846	265,955
	218,090	216,414	215,207
	-136,696	-134,625	-138,823
	-141,899	-136,791	-149,690
	151,825	139,051	159,285
	175,463	182,452	196,729
	-50,295	-57,314	-57,741
	-87,542	-81,579	-99,699
	73,835	80,696	73,237
	132,399	125,263	120,820
	3,160	-6,364	-15,126
	-56,997	-53,019	-57,606
	42,379	37,533	47,935
	97,419	95,323	81,791
	22,288	23,213	28,786
	-23,178	-25,147	-38,311
	30,386	32,702	31,370
	67,780	72,577	95,659
	35,731	44,098	24,397
	-7,754	0,426	-22,380
	24,917	21,248	18,903
	60,712	55,789	54,944
	35,090	33,137	46,121
	12,417	12,223	2,387
	19,943	27,383	9,027
	49,462	36,241	51,913
	42,892	48,288	37,082
	23,786	18,381	17,030
	24,232	16,265	28,930
	41,899	42,570	24,516
	33,159	38,792	45,036
	20,799	25,678	39,845
	20,084	34,589	13,267
	33,599	47,143	29,720
	36,889	31,634	33,448
	28,651	35,716	36,139