Решение системы с помощью обратной матрицы
Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение.
Пример 11: Решить систему с матричным методом . Решение: Запишем систему в форме матричного произведения: , где . Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаем, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно поставить нули. Решение системы найдем по формуле: . Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Вычисление обратной матрицы. Обратную матрицу найдем по формуле: где |A| – определитель матрицы A, Ã – матрица алгебраических дополнений исходной матрицы, а ÃT – присоединённая матрица, или транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A. Сначала разбираемся с определителем: . Здесь определитель раскрыт по первой строке. Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно.В этом случае для получения соотношений между неизвестными применяетсяметод исключения неизвестных (метод Гаусса). Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров . Как мы уже обозначали, первая цифра в символе элемента – это номер строки, в которой находится данный элемент, а вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент: Так, например, элемент M13 находится на пересечении первой строки и третьего столбца, а элемент M32 находится на пересечении третей строки и второго столбца. , , , , , , Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь мы их вычислили слева направо по строкам. Таким образом: – это матрица миноров соответствующих элементов матрицы A;
– матрица алгебраических дополнений, а – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Вычисление обратной матрицы. Теперь записываем обратную матрицу: Не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления.Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления. Осталось провести матричное умножение. Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. Пример 12: Решить систему с помощью обратной матрицы. Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Ответы:
Пример 3: . Пример 6: . Пример 8: , . Примеры 10, 12:
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1679)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |