Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что: Данный факт носит название второго замечательного предела. Справка: – это иррациональное число. В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности. Пример 6 Найти предел Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел. Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение . Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида : Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень : Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву : При этом сам значок предела перемещаем в показатель. Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.
Пример 7 Найти предел Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример. Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела: В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать : Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель: Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной: Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел . Наконец-то долгожданное устроено, с чистой совестью превращаем его в букву : Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на : Готово. А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так: Пример 8 Найти предел Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела: В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию : Выражение со спокойной душой превращаем в букву : Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?): Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:
А что такое и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»! Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов. В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все выкладки, приёмы решения для первого замечательного предела справедливы и для остальных замечательных пределов. Нужно решать их по аналогии. Да, так чему же равен предел ? Если у Вас получился ответ , значит в понимании высшей математики не всё так безнадежно = ).
Производные функций
Как найти производную, как взять производную?На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на страницеМатематические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне. Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Если Вас интересует теоретическое определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной – поищите в Интернете, информации море. Наша же задача научиться находить эти самые производные. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1666)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |