Производная функции, заданной параметрически
Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, сразу запишем конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , . Переменная t называется параметроми может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение t =1и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку (4; 1), и эта точка будет соответствовать значению параметра t =1. Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.
В более «тяжелых» случаях, для которых и придумана параметрическая запись, такой фокус не проходит. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула: Находим производную от «игрека по переменной тэ»: Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы t, таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ». Находим производную от «икса по переменной тэ»: Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу: Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметраt. Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому не будем отклоняться от стандарта.
Пример 6 Найти производную от функции, заданной параметрически Используем формулу В данном случае: Таким образом: Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать. Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.
Пример 7 Найти производную от функции, заданной параметрически Это пример для самостоятельного решения.
Для параметрически заданной функции также можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: . Совершенно очевидно, что для того, чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.
Пример 8 Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически Сначала найдем первую производную. Используем формулу В данном случае: Подставляет найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :
В задаче на нахождение производной параметрической функции довольно часто в целях упрощений приходится использовать тригонометрические формулы. Помните их или держите под рукой, и не пропускайте возможность упростить каждый промежуточный результат и ответы. Зачем? Сейчас нам предстоит взять производную от , и это явно лучше, чем находить производную от . Найдем вторую производную. Используем формулу: . Посмотрим на нашу формулу. Знаменатель уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель – производную от первой производной по переменной «тэ»: Осталось воспользоваться формулой: Готово.
Для закрепления материала предлагаем еще пару примеров для самостоятельного решения.
Пример 9 Найти и для функции, заданной параметрически
Пример 10 Найти и для функции, заданной параметрически .
Надеюсь, это занятие было полезным, и Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций
Решения и ответы: Пример 3: Решение:
Пример 5: Решение:
Пример 7: Решение: Используем формулу В данном случае:
Таким образом:
Пример 9: Решение: Найдем первую производную. Используем формулу: . В данном случае:
Найдем вторую производную, используя формулу .
Пример 10: Решение: Используем формулу: . В данном случае: Таким образом: . Вторая производная: .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1454)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |