Уравнение касательной к графику функции
Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики. Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Сразу приведём готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):
Строгое определение касательной дается с помощью определения самой производной функции, и с этим пока повременим. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции. Применительно к нашему случаю: при касательная с угловым коэффициентом k (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке . И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой k. Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ? Общая формула знакома нам еще со школы: Значение нам уже дано в условии. Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке : . На следующем этапе находим производную: Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели): Подставляем значения , и в формулу : Таким образом, уравнение касательной: Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой принято записывать в так называемой общей форме , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией: Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению: – верное равенство. Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет. Рассмотрим еще два примера.
Пример 5 Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Уравнение касательной составим по формуле 1) Вычислим значение функции в точке : 2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции: 3) Вычислим значение производной в точке : 4) Подставим значения , и в формулу : Готово. Выполним частичную проверку: Подставим точку в найденное уравнение: ; ; – верное равенство. Пример 6 Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Полное решение и образец оформления в конце урока.
В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1434)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |