Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
Общее правило: заu всегда обозначается многочлен.
Пример 5 Найти неопределенный интеграл. Решение: Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям: Если возникли трудности с интегралом , то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ: Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом , или даже . То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет, другое дело, что преподаватель может попросить упростить ответ.
Пример 6 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения. Данный интеграл дважды интегрируется по частям. Особое внимание следует обратить на знаки – здесь легко в них запутаться, также помним, что – сложная функция.
Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: заu всегда обозначается многочлен. Пример 7 Найти неопределенный интеграл. Интегрируем по частям: Пример 8 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения.
Пример 9 Найти неопределенный интеграл . Еще один пример с дробью. Как и в двух предыдущих примерах заu обозначается многочлен. Интегрируем по частям: Пример 10 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения. Подсказка: перед использованием метода интегрирования по частям следует применить некоторую тригонометрическую формулу, которая превращает произведение двух тригонометрических функций в одну функцию. Формулу также можно использовать и в ходе применения метода интегрирования по частям, кому как удобнее.
Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за u всегда обозначается обратная тригонометрическая функция. Напоминаем, что к обратным тригонометрическим функциям относятся арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Для краткости записи мы будем называть их «арками».
Пример 11 Найти неопределенный интеграл. Решаем. . Интегрируем по частям: Здесь интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала, можно использовать и метод замены в «классическом» виде. Аналогичный пример разбирался на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Таким образом, помимо «чистого» интегрирования по частям нередко требуется применять другие методы и приёмы решения.
Пример 12 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения.
И заключительный пример сегодняшнего урока под счастливым номером тринадцать: «арк», умноженный на многочлен. Он сложнее, и предназначен для
Пример 13 Найти неопределенный интеграл . Рассмотренный метод часто применяется в комбинации с другими приёмами решения интегралов. Читатели с хорошими навыками могут ознакомиться с такими примерами на уроке Сложные интегралы.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: .
Пример 4: Решение:
Интегрируем по частям: .
Пример 6: Решение:
Дважды интегрируем по частям:
Пример 8: Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 10: Решение:
Интегрируем по частям: Примечание: Здесь мы использовали известную тригонометрическую формулу двойного угла . Её можно было использовать и сразу: , а потом интегрировать по частям.
Похожим способом также решаются интегралы вроде , – в них необходимо (сразу или в ходе решения) понизить степень синуса (косинуса) с помощью соответствующих формул. Более подробно – см.Интегралы от тригонометрических функций.
Пример 12: Интегрируем по частям:
Пример 13:
Интегрируем по частям:
Примечание: Если возникли трудности с интегралом , то следует посетить урок Интегрирование некоторых дробей.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2662)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |