Метод замены переменной
Как уже упоминалось в статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле, основной предпосылкой для использования метода замены является тот факт, что в подынтегральном выражении есть некоторая функция и её производная : (функции , не обязательно находятся под знаком интеграла в виде произведения).
Пример 11 Найти неопределенный интеграл . Смотрим в таблицу производных и замечаем формулы , , то есть, в нашем подынтегральном выражении есть функция и её производная. Однако мы видим, что при дифференцировании косинус и синус взаимно превращаются друг в друга, и возникает вопрос: как выполнить замену переменной и что же обозначать за t – синус или косинус?! Вопрос можно решить методом научного тыка: если мы неправильно выполним замену, то ничего хорошего не получится. Общий ориентир: в похожих случаях заt нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе. Итак, запомнили: . Прерываем решение и проводим замену ; . В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от, теперь осталось выяснить, во что превратится . Для этого находим дифференциал dt: Или, если короче: Из полученного равенства по правилу пропорции получаем нужное нам выражение: . Итак: Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от t и можно продолжать решение Готово. Напоминаем, что цель замены – упростить подынтегральное выражение. В данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.
А сейчас два примера для самостоятельного решения: Пример 12 Найти неопределенный интеграл .
Пример 13 Найти неопределенный интеграл . Полные решения и ответы в конце урока.
Пример 14 Найти неопределенный интеграл . Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что обозначать за t, синус или косинус? Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за t другую функцию, но есть общий ориентир. Общий научный ориентир: заt нужно обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении». Мы видим, что в данном примере, что Поэтому проведем замену: .
Пример 15 Найти неопределенный интеграл . Анализируем подынтегральную функцию. Что нужно обозначить за t? Вспоминаем наши ориентиры: 1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе; 2) Функция находится в «неудобном положении». Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций. Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена . В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с ? Во-первых, «отщипываем» один косинус: . Произведение мы резервируем под наш «будущий» дифференциал dt. А выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества: . Проводим преобразования: Вот теперь замена: Готово.
Общее правило: Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а заt – обозначить другую функцию. Речь идет только об интегралах, где есть косинусы и синусы. В рассмотренном примере в нечетной степени у нас находился косинус, поэтому мы отщипнули от степени один косинус, а за t обозначили синус.
Пример 16 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1896)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |