Метод сведения интеграла к самому себе
Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра: Пример 5 Найти неопределенный интеграл . Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе, не сложно. Если знаешь как. Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой I и начнем решение: . Интегрируем по частям: . . (1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления. (2) Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишем подробнее: . (3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. (4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм). Теперь смотрим на самое начало решения: И на концовку: Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе! Приравниваем начало и конец: Переносим I в левую часть со сменой знака: А двойку сносим в правую часть. В результате: Или: Константу C, строго говоря, надо было добавить ранее, но мы приписали её в конце. Настоятельно рекомендуем прочитать в примечании, в чём тут строгость:
Примечание:Более строго заключительный этап решения выглядит так:
Таким образом:
Константу можно переобозначить через . Почему можно переобозначить? Потому что всё равно принимает любые значения, и в этом смысле между константами и нет никакой разницы. В результате:
Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях. Там будем строгими, особенно при определении частных решений. А здесь такая вольность допускается только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования. Пример 6 Найти неопределенный интеграл . Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!
Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, или его часть, то решение в любом случае сводится к двум разобранным Примерам 5 и 6. Например, рассмотрим интеграл . Всё, что нужно сделать – это тождественными преобразованиями предварительно выделить полный квадрат: . Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»: , в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда (см. Пример 5)?
Или такой пример, с квадратным двучленом: Выделяем полный квадрат: И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму.
Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе: – интеграл от экспоненты, умноженной на синус; – интеграл от экспоненты, умноженной на косинус. В этих перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза: Пример 7 Найти неопределенный интеграл . Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус. Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе: В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения: Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл: Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.
Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям: За u мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно ли экспоненту всегда нужно обозначать за u? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы, что обозначать за u, можно было пойти другим путём: .
Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании). То есть, за u можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть. Пример 8 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за u, экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.
Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: . Попутаться в подобном интеграле придется многим. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность. На завершающем этапе часто получается примерно следующее: Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1525)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |