Интегрирование сложных тригонометрических функций
На уроке Интегралы от тригонометрических функциймы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. В том примере для нахождения интеграла мы применяли тригонометрическую формулу . Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!
Пример 15 Найти неопределенный интеграл . Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы «развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов: (1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы. (2) Для одного из множителей используем формулу (3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла. (4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала, во втором интеграле еще раз используем формулу , в данном случае . (5) Берём все три интеграла и получаем ответ.
Пример 16 Найти неопределенный интеграл Это пример для самостоятельного решения.
Для котангенса существует аналогичная формула: . Полное решение и ответ в конце урока.
Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций. На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Рассмотрим еще один канонический пример - интеграл от единицы, деленной на синус:
Пример 17 Найти неопределенный интеграл . Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Приведём это решение с комментариями к каждому шагу: (1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла . (2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на . (3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс. (4) Подводим функцию под знак дифференциала. (5) Берём интеграл.
Пример 18 Найти неопределенный интеграл . Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.
Пример 19 Найти неопределенный интеграл . Ну, это совсем простой пример. Полные решения и ответы в конце урока.
Думаем, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами: и т.п. В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью тождественных преобразований и тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса . То есть, речь идет о замене: . В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала. Примечание: аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса. Существует и формальное правило для применения вышеуказанной замены:
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2154)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |