Если сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число, тоинтеграл можно свести к тангенсам и его производной

 

Для интеграла – целое отрицательное число.

Для интеграла – целое отрицательное число.

Для интеграла – целое отрицательное число.

Рассмотрим пару более содержательных примеров на это правило:

 

Пример 20

Найти неопределенный интеграл

.

Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:

(1) Преобразуем знаменатель.

(2) По известной формуле получаем .

(3) Преобразуем знаменатель.

(4) Используем формулу

.

(5) Подводим функцию под знак дифференциала.

(6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.

Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.

 

Пример 21

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения.

 

Пример 22

Найти неопределенный интеграл

.

В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:

.

 

Пара творческих примеров для самостоятельного решения:

 

Пример 23

Найти неопределенный интеграл

.

 

Пример 24

Найти неопределенный интеграл

.

 

Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока.

Переходим к заключительному пункту путешествия в мир сложных интегралов:

 

 

Интеграл от корня из дроби

 

Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.

Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:

, где a, b, c, d – числа.

Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.

Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:

.

Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx.

Выражаем «икс»:

Теперь найдем дифференциал:

Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?

Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида

 

!

Формулы замены таковы:

.

 

Заключительный пример:

Пример 25

Найти неопределенный интеграл

.

Проведем замену:

.

В данном примере: a =-1, b = 2, c = 3, d = 1. Тогда для dx имеем:

.

Таким образом:

.

Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:

Проведем обратную замену. Если изначально

,

то обратно:

.

Преобразуем далее:

 

.

 

Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!

Иногда встречаются интегралы вида

, ,

но это нужно быть либо слишком умным, либо попасть под раздачу.

Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку

.

и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал dx.

Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

 

 

Решения и ответы:

Пример 2:Решение:

.

Проведем замену:

Интегрируем по частям:

 

 

Пример 3: Ответ:

.

 

Пример 4:Ответ:

.

 

Пример 6: Решение:

.

Интегрируем по частям:

Таким образом:

В результате:

 

Пример 8: Решение:

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:

Таким образом:

 

 

Пример 10: Решение:

.

Проведем замену:

 

 

Пример 11: Решение:

Замена:

.

 

 

Пример 12:Решение:

Замена:

.

 

 

Пример 14: Решение:

Дважды используем рекуррентную формулу

 

 

Пример 16: Решение:

 

 

Пример 18: Решение:

.

Используем формулу приведения:

и формулу двойного угла:

.

Далее имеем

 

 

Пример 19: Решение:

 

 

Пример 21:Решение: –3 – 3 = –6 – целое отрицательное число, значит преобразуем

 

 

Пример 23: Решение:

Пример 24:Решение:

.