Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
Такие примеры встречаются на практике относительно редко, поэтому ограничимся только обзором. Пример опять же будет, в известной степени, условным. Рассмотрим несобственный интеграл . На концах отрезка интегрирования всё хорошо. Но подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв прямо на отрезке в точке x = 1. Подынтегральная функция является четной, но это не имеет никакого значения, поскольку отрезок интервал интегрирования не симметричен относительно нуля. Метод решения – тот же старый. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов: . Интегралы правой части вам уже знакомы. Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 5: Решение:
Проведем замену:
Новые пределы интегрирования:
Пример 8: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на интервале .
Пример 11: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
Проверим сходимость интегралов правой части:
Сходится.
Сходится. Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл:
Ответ:
Примечание: Будет серьезной оплошностью сразу записать, что , пользуясь нечетностью подынтегральной функции и симметричностью интервала интегрирования. Стандартный алгоритм обязателен!!!
Пример 13: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках . Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов:
Исследуем сходимость интегралов правой части:
Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и весь интеграл. Интеграл - можно уже не проверять. Ответ:интеграл – расходится
Приложение 1. Числа
Наиболее общие закономерности и законы экономических явлений выясняются путем качественного анализа, но конкретное выражение их возможно лишь с помощью меры и числа. Число - важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков. Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4… При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число, и делить ее на доли не нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли. Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел. Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей. Дроби обозначаются, как ; где m и n - целые числа. - это сокращение дроби; а - это расширение дроби. Дроби со знаменателем 10 - это десятичные дроби, которые обозначаются с помощью запятой, разделяющей целую и дробную части: . Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби. Различают 2 случая: 1) чистая периодическая дробь, как 0,2525…=0,(25)= ; 2) смешанная периодическая дробь, как 1,2555…=1,2(5)= .
Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики. Рене Декарт в 17 веке ввёл понятие отрицательного числа. Объединение множеств целых (положительных и отрицательных) чисел, дробных (положительных и отрицательных) чисел и нуля получили название рациональных чисел (rational numbers). Определение: Всякое рациональное число может быть записано в виде отношения двух целых чисел, одно из которых (в знаменателе) не равно нулю. Определение: Всякое рациональное число может быть записано в виде конечной дроби (с конечным числом знаков после запятой) или периодической дроби. Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа - ввели действительные (вещественные) числа (real numbers). Объединение множеств рациональных (положительных и отрицательных) и иррациональных (положительных и отрицательных) чисел получило название множества действительных чисел. Определение: Всякое иррациональное число может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Иррациональные числа (irrational numbers) появились при измерении несоизмеримых отрезков (таких, как сторона и диагональ квадрата). В алгебре иррациональные числа появились при извлечении корней . Примером трансцендентного, или иррационального числа являются числа π, е. Все действительные числа можно изобразить на числовой оси.
Числовая ось(числовая прямая) это: а) прямая линия с выбранным на ней направлением; б) на оси задано начало отсчета – нулевая точка (0); в) на оси задана единица масштаба.
Х -2 -1 1 2 3
Комплексные числа.После действительных чисел (real numbers) не появилось «недействительных чисел», но возникли так называемые «комплексные числа» (complex numbers). «Комплексное число» - это не число в обычном понимании, характеризующееся одним параметром, а математический объект, составленный из двух элементов, каждый из которых - действительное число. Геометрически комплексное число может быть представлено, как точка на плоскости (элемент плоскости), на которой задана прямоугольная система координат: две взаимно перпендикулярные числовые оси (0X и 0Y) с общей нулевой точкой (0) начала отсчёта. Произвольная точка такой координатной плоскости определяется упорядоченной парой чисел (x; y), где x и y называют обычно координатами точки по соответствующим осям. Пара называется упорядоченной, т. к. при перестановке чисел x; y местами в скобках получается другое комплексное число (другая пара): (x; y) ¹ (y; x). Определение: Всякое комплексное число представимо в виде упорядоченной пары действительных чисел: z =(x; y), где и x, и y – действительные числа, а z – «название» этой пары. Причём первое в паре число (x) называют действительной частью комплексного числа, а второе в паре число (y) – мнимой частью комплексного числа. Действительные числа после этого определения стали обозначать, как x º (x; 0), и отмечать их на числовой оси 0X, а мнимые числа (мнимые части комплексных чисел) – как y º (0; y). Для комплексных чисел ввели особые алгебраические операции. Оказалось, что комплексные числа представимы в виде векторов и просто «алгебраически», как: z = x + i∙y, если величину i º (0; 1) назвать мнимой единицей (смотрите раздел Комплексные числа).
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1922)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |