Аналитическая геометрия
Прямая на плоскости Всякая прямая линия определяется в заданной прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением первой степени относительно переменных х и у. Ах + Ву + С=0(6.2.1) общее уравнение прямой, гдеАи В - координаты одного из нормальных векторов этой прямой.
(6.2.2) каноническое уравнение прямой, где (х0,у0) -координаты точки, черезкоторую проходит прямая, lи т-координаты направляющего вектора . xCosa+yCosβ-p = 0 (6.2.3) нормированное уравнение прямой, где Cosa,Cosβ - координаты единичного вектора нормали прямой (он направлен из начала координат к прямой), р- расстояние прямой от начала координат .
у = кх + b (6.2.4) уравнение с угловым коэффициентом к = tga, α - угол наклона прямой к осиОх, b - величина отрезка, отсекаемого на оси Оу.
(6.2.5) уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1 ,у1) и (х2 ,у2). (6.2.6) параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (хо,уо) в направлении вектора = {1,т). (6.2.7) уравнение прямой «в отрезках», где а и bвеличины отрезков отсекаемых прямой на осях охи оу соответственно. Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями (1),(2),(3), вполне определяется взаимным расположением векторов с ними связанных, поэтому условия параллельности, ортогональности и угол между прямыми получены из соответствующих условий для векторов. Для прямых, заданных уравнениями вида (4), выпишем эти условия. Если y=k1х + b1и у = к2х + Ь2уравнения этих прямых, то k1 =k2–условие параллельности, (6.2.8) k1×k2=-1 –условие перпендикулярности, (6.2.9) -тангенс угла между прямыми (6.2.10) Если дана прямая общим уравнением Aх + Ву + С=О, то его можно нормировать умножением на нормирующий множитель , (6.2.11) где знак выбирается противоположным знаку свободного члена С из общего уравнения μАх + μBу + μC = 0 Нормированное уравнение позволяет получить отклонение δ и расстояние dдля данной точки М0(х0,у0) от прямой по формуле δ = х0cosα + у0cosβ - ρ, . (6.2.12) Пример6.2.1. Найти угол между прямыми .
Решение. , тогда другой угол между прямыми 135°.
Пример 6.2.2. Найти проекцию точки Мо(4,9) на прямую, проходящую через точки М1(3,1) и М2(5,2). Решение. Найдем уравнение прямой М1М2 по формуле (5) , откуда . Ищем уравнение перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку Мов виде (4). Пользуясь условиемперпендикулярности кгк1=-1, найдем . Так как координаты Модолжны удовлетворять искомому уравнению, то в уравнение у=-2x+bподставим координаты Мо: 9 =-2×4+b. Получим b= 17. Точка пересечения заданной прямой и этого перпендикулярадаст проекцию Мона данную прямую. Решим систему: . Получим х= 7,у = 3. Пример 6.2.3. Найти расстояние между параллельными прямыми у=2х-З и у=2х + 5. Решение. На первой прямой найдем какую-нибудь точку. Пусть х =1, тогда у=-1. Получим точку Мо(1,-1). Приведем уравнение второй прямой к нормированному виду: 2x-y+5=0, , - нормированное уравнение. Тогда по формуле (6.2.12) получим (лин.ед.) Плоскость Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А,В,С} и проходящей через точку M0(x0,y0,zo) имеет вид А(х -х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0. (6.2.13) Из этого уравнения получается общее уравнение плоскости Ax + By + Cz+D=0, (6.2.14) представляющее собой уравнение первой степени относительно переменных x,y и z. Геометрически удобное уравнение в отрезках , (6.2.15) где а,b,с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координатсоответственно. Нормированное уравнение плоскости xcosα + ycosβ + zcosg-ρ = 0, (6.2.16) где ρ - расстояние плоскости от начала координат; a,β,g - углы образованные единичным вектором нормали к плоскости (он направлен от начала координат к плоскости) с соответствующими осями координат. Если дана плоскость общим уравнением (6.2.14), то μАх + μDy + μСz+ μD= О будет нормированным уравнением той же плоскости, если , где знак выбирается противоположным знаку D - свободного члена в общем уравнении. Нормированное уравнение (6.2.16) позволяет получить отклонение δ и расстояние d от заданной точки Мо(х0, у0,z0) до плоскости δ = x0cosα + y0cosβ + z0cosγ -ρ, (6.2.17) d = \ δ \. (6.2.18) Условия перпендикулярности, параллельности и угол между плоскостями совпадают с аналогичными условиями для векторов, нормальных к этим плоскостям. Прямая в пространстве Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей (6.2.19) причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств , чтобы эти плоскости пересекались. Другой способ задания прямой: (6.2.20) каноническими уравнениями, где М0(x0,у0,z0) - точка, через которую проходит прямая в направлении вектора = {1,т,п}. Тогда условия параллельности, перпендикулярности и угол междупрямыми могут быть получены как соответствующие условия для направляющих векторов этих прямых. Из (6.2.20) могут быть получены уравнения прямой, проходящей через две точки М1{x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) (6.2.21) и параметрические уравнения прямой: .(6.2.22) Если прямая задана уравнениями (6.2.19), то можно получить канонические уравнения этой прямой, если взять какую-нибудь точку, задавая, например, х0и отыскивая соответствующие у0и z0из системы (6.2.19), и получить направляющий вектор прямой Если прямая задана уравнениями (6.2.20), а плоскость общим уравнением (6.2.14), то условие параллельности прямой и плоскости Аl + Вт+Сп = 0, (6.2.23) а условие перпендикулярности . Пример 6.2.4. Привести уравнение прямой
к каноническому виду. Решение. Найдем какую-нибудь точку на этой прямой. Пусть х = 0, тогда система примет вид . Отсюда y=-2, . Получим точку Мо(0;-2; )Найдем направляющий вектор Канонические уравнения прямой
Пример 6.2.5. Составить уравнения движения точки M(x,y,z), которая имеет начальное положение Мо(1;-2;4), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора = {2; 3; 6} со скоростью , . Решение. Тогда . Искомые уравнения будут
Пример 6.2.5. Найти расстояние точки М0(1;2;0) от прямой Решение. Проведем через точку Моплоскость α, перпендикулярную данной прямой и найдем М1 - точку пересечения плоскости α с данной прямой. Тогда искомое расстояние будет расстоянием от Мо до М1. Для плоскости α воспользуемся уравнением вида (13), так как известна точка М0(1;2;0) на ней лежащая и нормальным вектором может служитьнаправляющий вектор прямой а= {2,5,1}. Получим 2(х -1) + 5(у - 2) + 1(z- 0) = 0 , или 2x + 5y + z-12 = 0. Найдем точку пересечения плоскости α и данной прямой, решив систему из уравнений плоскости α и параметрических уравнений данной прямой: Исключая x,y,z, найдем t=-0,5. Тогда х=1,y=1,5,z=2,5. Точка М1(1;1,5;2,5). Расстояние М0М1: (лин.ед.).
Пример 6.2.6. Найти угол между прямой и плоскостью х + 2у - 3z - 1 = 0. Решение. Рассмотрим нормальный вектор плоскости = {1;2;-3} и направляющий вектор прямой = {2;3;5}. Косинус угла между этимивекторами равен синусу угла между прямой и плоскостью: , .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (913)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |