Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Матрица конечного поворота




Рассмотрим задачу о нахождении направляющих косинусах, задающих ориентацию подвижной системы координат Oxyz относительно некоторой, назовем ее неподвижной, системой координат OXYZ. Исходную систему координат подвижного трехгранника обозначим Ox0y0z0 и до поворота она соответственно совпадала с системой координат OXYZ. Пусть трехгранник Oxyz переместился из положения Ox0y0z0 в текущее в результате одного поворота на угол около оси On, заданной единичным ортом в системе координат OXYZ. Ось On может занимать разное направление, не обязательно совпадающим с одной из осей трехгранника OXYZ. Представим используемые системы координат и их связи граф-схемой:

 

Рис.1.4.

 

Здесь

- матрица направляющих косинусов, задающая ориентацию трехгранника Oxvyvzv, одна из осей которого (пусть первая ось Oxv) задает ориентацию оси поворота On;

- матрица поворота относительно оси On .

Тогда искомая матрица конечного поворота определяется соотношением

.

Или раскрывая выражение и используя свойства (1.9) , получим матрицу конечного поворота в следующем виде

где

(1.11)

- направляющие косинусы, задающие ориентацию оси On поворота ПО на угол . Таким образом, положение подвижной системы координат задается с помощью четырех параметров: , .

 

 

Матричная форма формулы Эйлера

Пусть в системе координат СКm задана точка M, которая определена вектором

;

где – проекции вектора на оси системы координат СКm, что отмечено нижним индексом “m”.

Определим линейную скорость точки М в проекциях на оси системы координат СКm. Согласно формуле Эйлера [1] имеем

. (1.12)

 

Здесь – вектор угловой скорости системы координат СКm относительно системы координат СКs, выраженный в проекциях этого вектора на оси системы координат СКm.

Используя матричную форму векторного произведения, запишем

 

 

Запишем полученный результат в матричной форме

, (1.13)


где (1.14)

 

Индекс “~ ” (тильда) указывает на кососимметричную форму данной матрицы.

 

Формула Пуассона

В традиционной форме обозначения угловую скорость можно представить в виде



.

Заметим, что в формуле (1.13) неявно было положено условие

.

В общем случае, когда выведем рабочее соотношение другим способом.

Продифференцируем соотношение

т.е.

Т.о. вектор линейной скорости точки М в данном случае (в общем случае движения точки М), выраженный в проекциях на оси системы координат СКm имеет вид

или в форме теоремы о полной производной

(1.15)

Заметим, что при этом имеет место очень важное соотношение

, (1.16)

которое позволяет определять проекции угловой скорости поворота одной системы координат относительно другой, используя только матрицы направляющих косинусов.

Формула (1.16), записанная в ниже следующей форме, часто называется формулой Пуассона[1, 2, 4]

(1.17)

Или в другой форме

(1.18)

 

 





Читайте также:





Читайте также:
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...

©2015 megaobuchalka.ru Все права защищены авторами материалов.

Почему 3458 студентов выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.005 сек.)