Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте
Найдем доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте, используя формулу: Если n достаточно велико и р не очень близка к нулю и единице, то можно считать, что относительная частота распределена приближенно по нормальному закону, причем М(W)= р. Заменив Х на относительную частоту , математическое ожидание - на вероятность, получим равенство: Приступим к построению доверительного интервала (р1, р2), который с надежностью покрывает оцениваемый параметр р Потребуем, чтобы с надежностью g выполнялось соотношение указанное выше равенство: Заменив , получим: Таким образом, с надежностью g выполняется неравенство (чтобы получить рабочую формулу, случайную величину W заменим неслучайной наблюдаемой относительной частотой w и подставим 1- р вместо q): Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим это неравенство относительно р. Допустим, что w > р. Тогда Обе части неравенства положительны; возведяих в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно р: Дискриминант трехчлена положительный, поэтому корни действительные и различные: меньший корень больший корень: Замечание1: При больших значениях n , пренебрегая слагаемыми ,и учитывая получим приближенные формулы для границ доверительного интервала : Пример1. Производят независимые испытания с одинаковой и неизвестной вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз. По условию n =80, m=16, =0,95. Относительная частота . Из соотношения Ф(t)=0,95/2 = 0,475 по таблице находим t = 1,96. Т.к. n<100, то используем точные формулы, получим : р1= 0,128, р2= 0,299. Замечание 2: Если n мало, то используем для определения концов доверительного интервала вероятности события при биноминальном распределении "Таблицу доверительных границ р1 и р2". Значения р1 и р2 находят в зависимости от n и m. Пример. В пяти независимых испытаниях событие А произошло 3 раза. Найти с надежностью 0,95 интервальную оценку для вероятности события А в единичном испытании. По условию задачи n=5, m=3. Имеет место схема повторных испытаний. Используя таблицу, находим доверительный интервал : 0,147<p<0,947. Контрольные вопросы 1. Определение статистической оценки неизвестного параметра. 2. Какая оценка называется точечной? 3. Каким требованиям должны удовлетворять статистические оценки? 4. Сформулировать определения генеральной средней и генеральной дисперсии. 5. Записать выражения для вычисления выборочной средней, выборочной дисперсии и исправленной дисперсии. Какая из этих оценок не является несмещенной? 6. Методики вычисления границ доверительного интервала для оценки математического ожидания нормально распределенной СВ при известном и неизвестном . 7. Методика вычисления границ доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ. 8. Доверительный интервал вероятности биноминального распределения по относительной частоте при больших n , при n<100.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1536)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |