Идентификация временного ряда и устранение автокорреляции

Основная причина автокорреляции ошибок - наличие скрытых регрессоров. Их влияние и проявляется через случайную составляющую. Это говорит о низком качестве отбора значимых факторов на начальном этапе построения регрессионной модели и выборе самой модели. Все это называется идентификацией модели или временного ряда.

Очень часто скрытыми факторами являются лаговые объясняемые переменные y_t-1, y_t-2 и т.д. Действительно, если мы строим прогнозное уравнение регрессии курса валют, то именно эти лаговые переменные включим в уравнение в качестве объясняющих переменных в первую очередь. Другой класс объясняющих переменных - макропоказатели экономики: цена на нефть на мировом рынке, индексы активности экономики России и других стран, уровень политической (военной) напряженности в наиболее горячей точке планеты и т.п.

Таким образом, автокорреляция устраняется, если мы качественно выполним идентификацию временного ряда, т.е. построим модель такую, в которой остатки представляют собой "белый шум", а все регрессоры значимы.

Такая модель не единственна, поэтому выбирают самую простую из трех типов: авторегрессионную модель р-го порядка АR(p), модель скользящей средней q-го порядка MA(q) и авторегрессионную модель скользящей средней ARMA(p, q).

Авторегрессионная AR(p) модель (см. уравнение (5.8)) имеет вид:

Модель скользящей средней MA(q):

Авторегрессионная модель скользящей средней ARMA(p,q):

Чаще всего на практике используется метод проб и ошибок: проверяются на пригодность различные модели, начиная с самых простых.

В качестве ориентира для идентификации можно использовать автокорреляционую и частную автокорреляционую функции. Если все значения r(t) порядка выше q близки к нулю, то применяется модель МА с порядком не выше q. Например, из рис. 5.1 видно, что можно принять q»2.

Если все значения частной автокорреляционной функции порядка выше р близки к нулю, то применяется модель AR с порядком авторегрессии не выше р. В конечном счете мы и получим модель без авторегрессии.

В качестве примера рассмотрим авторегресионную модель 1-го порядка. Пусть мы имеем регрессионную модель

и пусть возмущения связаны наиболее просто – авторегрессионным процессом 1-го порядка:

где n_t - "белый шум" (М(n_t)=0 и D(n_t)=s₀²) и r - коэффициент авторегрессии.

Отсюда из выражения (6.26) нетрудно получить формулу:

s2 = /(1-r2)

(6.27)

и далее для коэффициентов автокорреляции 1-го и m-го порядков:

На основе формул (6.27) и (6.28) можно записать ковариационную матрицу вектора возмущений e:

.

(6.29)

Для получения наиболее эффективных значений параметра b применяется обобщенный МНК. Неизвестное значение r оценивается применением к регрессии (6.26) обычного МНК.

Можно пойти другим путем. Исключая e_t из уравнений (6.25) и (6.26), получим классическую ЛММР: возмущения n_t независимы и имеют постоянную дисперсию :

Таким образом, автокорреляция легко устраняется.

Вопросы для самопроверки

1. Как может выглядеть произвольная числовая матрица å_b для р=2?

2. Как может выглядеть произвольная числовая матрица W для n=3?

3. В чем различие между классической линейной моделью и обобщенной?

4. Почему так важно получить метод оценивания с минимальной дисперсией?

5. Раскройте смысл теоремы Айткена.

6. Каким образом мы приходим к образу Y^* обобщенной модели и что это нам дает?

7. Как формулируется критерий оптимальности (минимум суммы квадратов отклонений) в обобщенном МНК?

8. Какие практические сложности возникают в использовании обобщенного МНК и как предлагается их преодолеть?

9. Как отражается гетероскедастичность на свойствах вектора оценок b?

10. В чем суть теста ранговой корреляции Спирмена?

11. В чем суть теста Голдфелда-Квандта?

12. В чем суть теста Уайта?

13. С какой целью вводятся новые переменные (нормированные через СКО) и соответствующее уравнение регрессии (оно гомоскедастично)?

14. Почему метод наименьших квадратов называется взвешенным?

15. К каким последствиям приведет применение МНК при наличии автокорреляции?

16. В чем суть теста Бреуша-Годфри?

17. Позволяет ли знание ковариационной матрицы (6.29) применить к модели (6.25) обобщенный МНК?

18. Можно ли после устранения автокорреляции применить к полученной модели обычный МНК для получения оценок ее качества?