Примеры на вычисление производной

 

а) 2 в) Найти производную функции .

При нахождении производной используем формулы 6 (производная частного) и 7 (производная степенной функции).

 

 

;

 

т.к. , то

 

.

 

Функцию можно записать в виде произведения двух функций , и для вычисления производной использовать формулу 5.

 

 

.

г) .

Для вычисления производной степенно-показательной функции можно использовать следующую формулу: .

Эту формулу рекомендуется использовать в тех случаях, когда с помощью свойств логарифмов функцию удается преобразовать и сделать более простой для дифференцирования.

 

 

.

д) Производная функции , заданной параметрически , , вычисляется по формуле

 

,

 

где и – это производные функций по переменной .

 

Найдем производную функции, заданной параметрически: , .

.

131 – 140.Производная от производной функции называется производной второго порядка этой функции и обозначается или .

.

 

Вычислим производную второго порядка функции .

 

.

 

.

141 – 150. Если при выражение является неопределенностью типа или и

 

, то .

 

Этот способ вычисления называется правилом Лопиталя.

Неопределенности других типов с помощью алгебраических преобразований могут быть сведены к неопределенности или .

При вычислении пределов наряду с правилом Лопиталя следует использовать другие способы вычисления, а также свойства пределов.

 

Вычислим .

 

Так как , , то имеем неопределенность типа .

Для раскрытия такой неопределенности воспользуемся следующим утверждением.

Если при функция является неопределенностью типа и существует

,

то

.

 

В нашем случае , , .

 

;

 

применим правило Лопиталя:

 

 

;

 

еще раз используем правило Лопиталя:

 

.

Таким образом,

.

151 – 160. Полное исследование функции можно свести к 3 этапам.

1 этап. Найти область определения функции; исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность; найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции. Установить характер точек разрыва (если они существуют), а так же найти асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные.

Наклонные асимптота кривой , если они существуют, задаются уравнениями вида y = kx+b , где параметры k и b определяются формулами:

 

, .

 

При этом пределы могут быть различными при x®+¥ или x®2¥ .

Для существования вертикальной асимптоты в точке x=x₀ необходимо, чтобы хотя бы один из пределов был бесконечен.

2 этап. Исследование функции с помощью производной. Найти производную y'(x) и её критические точки (т.е. точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует), определить промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума.

3 этап. Исследование функции с помощью производной второго порядка. Найти производную второго порядка (x) и её критические точки, используя знак производной, определить промежутки выпуклости, вогнутости графика и точки перегиба.

Используя результаты исследования нужно построить график функции.

Пример. Исследовать функцию y = x× e^x и построить её график.

1 этап. D(y) = (2¥ ; +¥).

Точки пересечения графика с осями координат: х = 0, y = 0 (график проходит через начало координат). Функция не является чётной ( y(2x)¹ y(x)), нечётной (y(2x)¹2y(x)), периодической.

Интервалы знакопостоянства функции:

 

Границами интервалов, где функция сохраняет знак, могут быть только точки пересечения графика функции с осью Ох, точки разрыва и границы области определения функции.

Для исследуемой функции такой точкой является x = 0. При х<0 функция принимает отрицательные значения, при x>0 функция принимает положитель- ные значения.

Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как она непрерывна на всей числовой прямой.

, наклонной асимптоты нет, но есть горизонтальная асимптота у=0, т.к. ;

(использовалось правило Лопиталя).

 

2 этап.

, , при . Это критическая точка.

 

 

При функция достигает минимума, .

3 этап.

;

при .

 

-2

 

Точка x = -2 является точкой перегиба, так как производная второго порядка меняет знак в этой точке; при xÎ(-¥; -2) график является выпуклым, а на интервале (-2; +¥) – вогнутым.

 

y(-2) = -2 e ^–2 »-0.3 .

 

Построение графика лучше начинать с проведения асимптот (если они есть), потом отмечаются точки экстремума, точки перегиба, точки пересечения с осями. Если этих точек недостаточно, то можно найти ещё несколько дополнительных точек.

 

График данной функции изображен на рис. 4.

 

 

1612170.В этих задачах величину, принимающую наибольшее или наименьшее значение, нужно записать как функцию некоторой переменной, а затем найти наибольшее или наименьшее значение этой функции.

 

Пример. Тело представляет собой цилиндр, завершенный сверху полушаром. Какую наименьшую площадь полной поверхности может иметь тело, если его объем равен ?

Решение.

Пусть – радиус основания цилиндра, – высота цилиндра. Тогда площадь полной поверхности тела , а объем тела ; отсюда .

Значит, . Таким образом, найдена площадь полной поверхности тела как функция радиуса . При этом можно заметить, что . Осталось найти наименьшее значение функции .

 

.

 

Следовательно, функция при имеет наименьшее значение.

.

 

Таким образом, наименьшая площадь поверхности тела равна .

 

 

Контрольная работа №4

171 – 180.Если закон движения точки на прямой задан функцией , то . Для нахождения нужно найти критические точки функции , вычислить значение в критических точках, принадлежащих отрезку , и на концах этого отрезка и выбрать из полученных значений наибольшее по модулю. Точно так же находим .

 

181 – 190.Функция называется первообразной для функции , если . Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , при этом называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением.

Можно доказать, что , где – некоторая первообразная для , – произвольная постоянная.

Для вычисления неопределенных интегралов нужно знать основные свойства, табличные интегралы и методы интегрирования.

 

Основные свойства неопределенных интегралов:

1. .

 

2. , где – постоянная, не равная нулю.

 

3. .

 

4. .

 

Свойства 3 и 4 показывают, что операции дифференцирования и интегрирования являются взаимообратными.

Таблица неопределенных интегралов

1)

 

2)

 

3)

Если , то .

 

4)

 

5)

 

6)

7)

 

8)

 

9)

 

10)

 

11)

 

Все формулы справедливы также в случае, если переменную заменить на некоторую другую функцию. Так, если в формуле 2 заменить на , то получим,

 

.

 

Перейдем к рассмотрению методов интегрирования.