Асимптоты графика функции
Асимптоты графика функции
Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или . Заметим, что если прямая , является вертикальной асимптотой, то точка — это точка разрыва второго рода, в которой функция не определена. Поэтому для того, чтобы найти вертикальные асимптоты нужно исследовать точки, в которых функция не определена. Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если представима в виде , где — бесконечно малая функция при ( ). Теорема. Для того, чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предельных значения , (1) . (2) Пример. Найти асимптоты графика функции . Данная функция не определена в точке . Найдем предельное значение функции при . Следовательно, график этой функции имеет вертикальную асимптоту . Чтобы выяснить, есть ли у графика функции наклонные асимптоты, найдем предельные значения (1), (2): , . Итак, прямая является наклонной асимптотой графика при и .
19.ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Понятие первообразной функции
Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на интервале , если в любой точке этого интервала функция дифференцируема, и ее производная равна . Свойства первообразных
1) Если функция является первообразной функцией для функции на интервале , то и функция , где — произвольная постоянная, также является первообразной функцией для функции на интервале . Действительно, . 2) Если и — первообразные функции для функции на интервале , то повсюду на этом интервале , где — некоторая постоянная. Положим . Так как каждая из функций и дифференцируема на интервале , то и дифференцируема на этом интервале. Причем всюду на интервале справедливо равенство . Так как производная равна нулю в любой точке интервала , то функция является постоянной на этом интервале. 3) Если функция является первообразной функцией для функции на интервале , то любая первообразная функция для функции на интервале имеет вид , где — некоторая постоянная. Это утверждения является следствием свойства 2.
Неопределенный интеграл
Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . В этом обозначении знак называется знаком интеграла, — подынтегральным выражением, — подынтегральной функцией, . — переменной интегрирования. Если функция является первообразной функцией для функции на интервале , то в силу приведенного выше следствия , где — произвольная постоянная. Заметим также, что, если для функции на интервале существует первообразная функция, то подынтегральное выражение представляет собой дифференциал любой первообразной. Действительно, если является первообразной функцией для функции на интервале , то .
20.Свойства неопределенного интеграла.
Пусть функция имеет на некотором интервале первообразную функцию . Неопределенный интеграла имеет следующие свойства: 1. . Действительно, используя определение неопределенного интеграла, имеем . 2. . Так как , а первообразной для функции является функция , то согласно определению неопределенного интеграла получим . 3. . Пусть — первообразная для функции . Тогда свойство 3 можно записать в виде , Следовательно, свойство 3 означает, что — это первообразная для функции . Покажем, что последнее утверждение справедливо. Действительно, . 4. , где — некоторая постоянная. Перепишем свойство 4 в виде и покажем, что является первообразной функцией для функции . Действительно, . 5. , где — первообразная функции . Пусть . Тогда . Следовательно, является первообразной подынтегральной функции .
21.Таблица интегралов.
Поскольку неопределенный интеграл — это совокупность первообразных для подынтегральной функции, то для нахождения неопределенного интеграла , требуется отыскать функцию , удовлетворяющую соотношению . Непосредственной проверкой этого соотношения можно убедиться в справедливости следующих формул.
1. . 2. . 3. ( ). 4. ( ). 5. , . 6. . 7. . 8. , . 9. , . 10. , . 11. . 12. , ( , если в подкоренном выражении выбран знак –). 13. , 15. ( ).
16. , ( , , если выбран знак –).
17. , ( , ). 18. . 19. . 20. .
22.Методы интегрирования:замена переменной.
Замена переменной в неопределенном интеграле Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на множестве и пусть — множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции существует на множестве первообразная функция , то есть . Тогда всюду на множестве для функции существует первообразная функция, равная , то есть . Доказательство. Поскольку , то функция является первообразной для функции . Замена переменной является одним из основных методов интегрирования. Предположим, что нам удалось выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию , что подынтегральная функция может быть представлена в виде , а интеграл легко вычисляется, тогда на основании теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле имеем . (1) Добавим теперь к таблице основных интегралов несколько часто встречающихся интегралов, которые мы найдем с помощью замены переменной. 17. , . Сделаем замену переменной , тогда , , и . 18. ( ). В этом интеграле также сделаем замену переменной . В результате получим . 19. , ( , , если выбран знак –). Этот интеграл с помощью замены переменной можно свести к интегралу 12. . Заметим, что поскольку — некоторая положительная постоянная, то — это произвольная постоянная, поэтому в формуле (19) заменили на . 20. , ( , ). Преобразуем подынтегральную функцию к виду и рассмотрим интегралы и . В первом интеграле сделаем замену переменной , а во втором . Тогда , . В результате замены получим , . Далее воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла . 21. . Преобразуем подынтегральную функцию
и сделаем замену переменной . Тогда и . 22. . Заметим, что , и сделаем замену переменной . В результате получим . 23. . Этот интеграл вычисляется с помощью замены переменной . При этом и . При интегрировании путем замены переменной преобразования (1) нередко записывают в сокращенном виде . (2) В этом случае, говорят, что функция подведена под знак дифференциала. При такой форме записи вычисление интеграла 23 приобретает вид . Приведем еще несколько примеров. Пример 1. . В этом интеграле фактически была сделана замена , но часть преобразований опущена. Пример 2. . В данной записи вычисления интеграла мы опять опустили часть преобразований, подведя под знак дифференциала функцию . Пример 3. . Здесь по знак дифференциала подведена функция .
23.Интегрирование по частям.
Формула интегрирования по частям
Пусть каждая из функций и дифференцируема на множестве и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции . Тогда на множестве существует первообразная и для функции , причем справедлива формула . (1) Доказательство. Воспользуемся формулой производной произведения двух функций . Умножим это равенство на и возьмем интеграл от правой и левой части . Так как , а интеграл существует , то существует и интеграл , причем . Учитывая, что , а , формулу (1) можно записать в виде . (2) Пример 1. Найти интеграл . Применим формулу интегрирования по частям (4), полагая , , , . В результате получим . Пример 2. Найти интеграл . Полагая в формуле интегрирования по частям (2) , , , получим . Для вычисления интеграла еще раз применим формулу (2) ( , , , ). В результате имеем = . Пример 3. Найти интеграл . Пусть , . Тогда по формуле (2) , При вычислении интеграла снова используем формулу интегрирования по частям ( , ) . В результате мы получили линейное алгебраическое уравнение относительно . Решая его, находим . Пример 4. Найти интеграл . Пусть , . Тогда по формуле интегрирования по частям имеем . С помощью интегрирования по частям вычисляются интегралы следующих видов: 1) , , . При вычислении этих интегралов следует положить . Поскольку , то в результате интегрирования по частям получатся интегралы вида , , . Применяя формулу интегрирования по частям раз придем к табличным интегралам , , . 2) , . Применяя дважды формулу интегрирования по частям , приходим к уравнению первого порядка относительно рассматриваемого интеграла. Решив это уравнение найдем искомый интеграл. 3) Подынтегральная функция содержит множитель: , , , . В этом случае в формуле интегрирования по частям надо положить функцию , равной одной из указанных функций.
24.Определенный интеграл, его геометрический смысл.
Определение. Функция называется интегрируемой по Риману на отрезке , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел интегральных сумм называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается . Итак . В записи определенного интеграла называют нижним пределом интегрирования, — верхним пределом интегрирования, — подынтегральной функцией, отрезок — интервалом интегрирования. Из определения определенного интеграла следует, что для неотрицательных функций определенный интеграл является пределом при последовательности площадей рассмотренных выше ступенчатых фигур. Поэтому он равен площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезком оси и прямыми , . Позже мы докажем это утверждение более строго.
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Криволинейной трапецией называется фигура , ограниченная прямыми , , осью и графиком функции (рис. 3) Рис. 3 Заметим, что нижняя сумма Дарбу представляет собой площадь ступенчатой фигуры, вписанной в криволинейную трапецию, а верхняя сумма Дарбу — площадь ступенчатой фигуры, описанной вокруг криволинейной трапеции. Очевидно, что , где — площадь криволинейной трапеции. Так как непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке, то . Следовательно, . Итак, определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , осью и графиком функции
25.Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция непрерывна на отрезке , тогда любая ее первообразная может быть представлена в виде . (3) Положим в формуле (3) сначала , а затем . В результате имеем два равенства , . Вычитая из второго равенства первое и заменяя на , получим основную формулу интегрального исчисления . (4) Эту формулу называют также формулой Ньютона-Лейбница. Разность обозначают символом , формулу (4) записывают в виде . Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную подынтегральной функции и из значения этой первообразной для верхнего предела интегрирования вычесть значение для нижнего предела. Пример. .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1068)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |