Частные производные и дифференциалы фнп

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная , вычисленная при постоянному.

Частной производной по y называется производная , вычисленная при постоянном х. Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 1. .

Рассматривая у как постоянную величину , получим .

Рассматривая х как постоянную величину , получим .

Дифференциал: Пусть функция u = F(x) определена в области D и − фиксированная точка. Дадим приращение каждому аргументу хţ : Величину будем называть вектором приращения. В свою очередь функция u получит приращение равное

Определение 1. Функция u = F(x) называется дифференцируемой в т. х , если ее приращение может быть представлено в следующем виде:

Где - Aţ = Aţ(x) и не зависит от Δх, а − бесконечно малая при

Величина вектора Δх равна:

Используя это обозначение, можно написать

Легко показать, что

{ }

Определение 2. Главная и линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом:

Теорема 1. Функция, дифференцируемая в т. хo − непрерывна в этой точке. { }

Теорема 2. (Необходимое условие дифференцируемости) Если F(x) дифференцируема в т. х , то она имеет все частные производные в этой точке, причем

{Пусть }

Отсюда , Если х − независимая переменная, то и окончательно

Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости) Пусть F(x) имеет все частные производные в окрестности т. хо , непрерывные в самой этой точке. Тогда функция дифференцируема в т. хо .

{без доказательства}

Замечание. Для дифференцируемости функции одной переменной достаточно существования производной.

Дифференциал функции u называют полным дифференциалом.

33.Производные и дифференциалы высших порядков ФНП:

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,

f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.

В этом случае справедлива формула

dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.

Производные n-го порядка от основных элементарных функций

Справедливыформулы

Формула Лейбница:Если u и v - n-кратно дифференцируемые функции, то