Использование производных для исследования функций
Возрастание, убывание функции. Точки экстремума Достаточное условие возрастания, убывания и постоянства функции.Если в некотором промежутке производная данной функции больше нуля , то функция возрастает в этом промежутке; если производная меньше нуля , то функция убывает. Если производная равна нулю, то функция постоянна на этом промежутке. Определение.Точками экстремума функции называются точки максимума и минимума. На конечном промежутке у функции может быть несколько максимумов и минимумов, то есть экстремум имеет локальный характер. Необходимое условие экстремума.Если является точкой экстремума функции , то ее первая производная в этой точке равна нулю или не существует. Точки экстремума называются критическими точками. Достаточное условие экстремума.Если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то есть при и при , то функция в этой точке имеет максимум. Если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак с минуса на плюс, то есть при и при , то в этой точке функция имеет минимум. Пример 4.1. Найти интервалы возрастания и убывания и экстремум функции . Решение. Находим производную функции: . Решая уравнение , получаем две точки возможного экстремума и . Исследовав знак (рисунок 4.1.), получаем, что на интервалах и функция возрастает, а на интервале - убывает.
Точка - точка максимума, - максимальное значение функции, а точка - точка минимума, - минимальное значение функции.
Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба Определение. График функции будет выпуклым (или вогнутым) на интервале , если любая касательная к кривой на этом интервале проходит выше или ниже этой кривой относительно оси абсцисс. Достаточное условие выпуклости (вогнутости).Если вторая производная функции в интервале , то график функции на этом интервале вогнут. Если , то график функции выпуклый. Определение.Точка кривой, где выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Достаточное условие точки перегиба.Если вторая производная функции в точке равна нулю, , и меняет знак при переходе через эту точку, то эта точка является точкой перегиба графика функции. Пример 4.2.Найти точки перегиба функции . Решение.Находим производную функции: . Находим вторую производную функции: . Решая уравнение , получаем точку . Получаем, что на интервале , на интервале . Следовательно - точка перегиба функции.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3729)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |