Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом ГауссаСистемы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений. Сейчас мы разберемся, как метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения (или одно единственное решение). В принципе процесс исключения неизвестных переменных в случае таких СЛАУ остается таким же. Однако следует подробно остановиться на некоторых ситуациях, которые могут возникнуть. 1. На определенном этапе исключения неизвестных переменных некоторые уравнения системы могут обратиться в тождества К примеру, при исключении x1 из второго и третьего уравнений системы Следовательно, второе уравнение можно удалить из системы 2. При проведении прямого хода метода Гаусса одно (или несколько) уравнений системы могут принять вид Пример. Найдите решение системы линейных уравнений Решение. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого прибавим к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения левую и правую части первого уравнения, умноженные на (-1), (-2) и (-3) соответственно: Равенство 0=-2, которое получилось в третьем уравнении системы, не достижимо ни для каких значений неизвестных переменных x1, x2 и x3, поэтому, исходная система уравнений решений не имеет. Ответ: система несовместна. 3. Предположим, что мы выполняем прямой ход метода Гаусса, и мы подошли к моменту исключения неизвестной переменной xk, а на каком-то предыдущем i-омшаге (i < k) эта переменная уже исключилась вместе с xi. Как поступать в данном случае? В этом случае следует перейти к исключению неизвестной переменнойxk+1. Если xk+1 также уже исключилась, то переходим к xk+2 и так далее. К примеру, после исключения неизвестной переменной x1 система уравнений Вместе с x1 исключились x2 и x3. Так что прямой ход метода Гаусса продолжаем исключением переменной x4 из всех уравнений, начиная с третьего: Далее останется исключить x5 из последнего уравнения для завершения прямого хода метода Гаусса. Переходим к самому важному этапу. Итак, допустим, что система линейных алгебраических уравнений после завершения прямого хода метода Гаусса приняла вид Выпишем неизвестные переменные, которые стоят на первом месте всех уравнений полученной системы: В нашем примере это x1, x4 и x5. В левых частях уравнений системы оставляем только те слагаемые, которые содержат выписанные неизвестные переменные x1, x4 и x5, остальные слагаемые переносим в правую часть уравнений с противоположным знаком: Придадим неизвестным переменным, которые находятся в правых частях уравнений, произвольные значения После этого в правых частях всех уравнений нашей СЛАУ находятся числа и можно преступать к обратному ходу метода Гаусса. Из последнего уравнений системы имеем Решением системы уравнений является совокупность значений неизвестных переменных Придавая числам Ответ: Для закрепления материала подробно разберем решения еще нескольких примеров. Пример. Решите однородную систему линейных алгебраических уравнений Решение. Исключим неизвестную переменную x из второго и третьего уравнений системы. Для этого к левой и правой части второго уравнения прибавим соответственно левую и правую части первого уравнения, умноженные на Теперь исключим y из третьего уравнения полученной системы уравнений: Полученная СЛАУ равносильна системе Оставляем в левой части уравнений системы только слагаемые, содержащие неизвестные переменные x и y, а слагаемые с неизвестной переменной z переносим в правую часть: Примем Из последнего уравнения системы имеем Ответ:
Пример. Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений больше числа неизвестных переменных Решение. Системы линейных уравнений такого вида мы можем решать методом Гаусса. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго: Исключаем x2 из всех уравнений системы, начиная с третьего: Третье, четвертое и пятое уравнения полученной системы можно отбросить, при этом получим Принимаем Из последнего уравнения системы имеем Так методом Гаусса мы нашли бесконечное множество решений исходной системы уравнений. Ответ:
Пример. Решите систему линейных уравнений, если она совместна Решение. Проведем решение методом Гаусса, так как этот метод нам позволит выяснить, совместна система или нет и в случае ее совместности определить решение. Исключим неизвестную переменную x1 из второго и третьего уравнений системы, прибавив к левой и правой части второго и третьего уравнения левую и правую части первого уравнения, умноженные на Исключим x2 из третьего уравнения: Последнее уравнение приняло вид 0 = - 1, из этого можно сделать вывод о несовместности системы. Ответ: система уравнений решений не имеет. Пример. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений Решение. Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x1, поэтому, прежде чем начать прямой ход метода Гаусса, переставим местами первое и второе уравнения: Исключаем x1: Исключаем x2: Исключаем x3: На этом прямой ход метода Гаусса закончен, и вид системы позволяет сразу переходить к обратному ходу. Из последнего уравнения определяем x3 = 0. Из второго уравнения находим Таким образом, исходная система определена, то есть, имеет единственное решение. Ответ: x1=1, x2=-2, x3=0. Пример. Решите систему уравнений Решение. Исключим неизвестную переменную x1 из второго и третьего уравнений: Вместе с x1 исключилась неизвестная x2, поэтому переходим к исключению x3 из третьего уравнения системы: Вместе с x3 исключилась неизвестная переменная x4. Оставляем в левой части уравнений системы слагаемые, содержащие x1, x3 и x5, остальные переносим в правые части: Примем Ответ:
К началу страницы Подведем итог. Мы рассмотрели решение различных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Можно сделать следующие выводы: · Если в процессе прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид · Если в конце прямого хода метода Гаусса мы получаем систему, число уравнений в которой совпадает с числом неизвестных переменных, то система совместна и определена, то есть, имеет единственное решение, которое определяется при проведении обратного хода метода Гаусса. · Если после завершения прямого хода метода Гаусса в полученной СЛАУ число уравнений меньше числа неизвестных переменных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений, которые находятся при обратном ходе метода Гаусса.
Читайте также: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1235)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |