Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Сложение гармонических колебаний




Материальная точка может одновременно участвовать в несколь­ких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекто­рию результирующего движения, следует сложить колебания. Наи­более просто выполняется сложение гармонических колебаний. Рас­смотрим две такие задачи.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.Пусть материальная точка одновременно участву­ет в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Анали­тически такие колебания выражаются следующими уравнениями:

 

Таким образом, поставленная задача решена: по формулам (5.30) и (5.31) можно найти амплитуду и начальную фазу резуль­тирующего колебания. Из выражения (5.30) вытекают следую­щие частные случаи:

т. е. амплитуда результирующего колебания равна сумме ампли­туд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу к (рис. 5.10, а);

т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амп­литуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу п (рис. 5.10, б). В частности, при Аг = А2 имеем А = 0, т. е. колебания нет (рис. 5.10, в). Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колеба­ниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, то точка неподвижна. Если частоты складываемых ко­лебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармо­ническим.

Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличают­ся друг от друга:

Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медлен­но изменяющейся амплитудой (ампли­тудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 5.11).

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:

Уравнения (5.35) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения t, то можно определить координаты х и у, а сово­купность координат и есть траектория. Более наглядно траекторию должно представить в виде зависимости у = f(x), для получения ко­торой следует исключить время из уравнений (5.35). Произведя ма­тематические преобразования, получим уравнение эллипса:



Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5.12).

Из выражения (5.36) вытекают некоторые частные случаи:

Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая симметричному расположению его относительно осей координат (рис.5.13, а). Из (5.37) при Ах = А2 = R (рис. 5.13, б) получаем уравнение окружности радиусом R:

 

2) φ02 - φ01 = kn, где k = О, 1, 2, ...; cos kn = ± 1, sin2 be = 0, и тогда это уравнение прямой линии, в которую вырождается эл­липс [рис. 5.14, а соответствует знаку «+» в уравнении (5.40); рис. 5.14, б — знаку «-»].

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит как от соотношения амплитуд А1 и А2, так и от отношения частот и разности начальных фаз φ01 - φ02 слагаемых колебаний (рис. 5.15):





Читайте также:





Читайте также:
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...

©2015 megaobuchalka.ru Все права защищены авторами материалов.

Почему 3458 студентов выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.004 сек.)