Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Течение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля




Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медици­ны особый интерес, так как кровеносная система состоит в основ­ном из цилиндрических сосудов разного диаметра.

Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; примыкающий к трубе слой жидкости неподвижен.

Примерное распределение скорости сло­ев v жидкости в сечении трубы показано на рис. 7.2.

 
 

Для определения зависимости ско­рости слоев от их расстояния r от оси выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины l (рис. 7.3, а). На торцах цилиндра поддерживаются давления р1 и р2 соответственно, что обусловливает результирующую силу

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная [см. (7.1)]

где S = 2πrl — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выде­ленный цилиндр, уравновешены: F = Fтр. Подставляя в это равен­ство (7.2) и (7.3), получаем

 

Знак «-» в правой части уравнения обусловлен тем, что dv/dr < 0 Ц(скорость уменьшается с увеличением г). Из (7.4) имеем

 
 

Проинтегрируем это уравнение:

 
 

 

здесь нижние пределы соответствуют слою, «прилипшему» к внутренней поверхности трубы (v = 0 при r = R), а верхние пределы —

 
 

 

переменные. После интегрирования (7.5) получаем параболиче­скую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорости на рис. 7.2):

 
 

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0):

 
 

Установим, от каких факторов зависит объем Q жидкости, про­текающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr. Площадь сече­ния этого слоя (рис. 7.3, б) dS = 2πrdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью и. За 1 с слой переносит объем жидкости



Подставляя (7.6) в (7.7), получаем

       
   

откуда интегрированием по всему сечению находим

 
 

Зависимость объема жидкости Q, протекающей через горизон­тальную трубу радиуса R за 1 с, определяется формулой Пуазей­ля (7.8), где η — вязкость жидкости, р1- р2 — разность давле­ний, поддерживаемая на торцах трубы длиной l.

Как видно из (7.8), при заданных внешних условиях (р1 и р2) через трубу протекает тем больший объем жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы.

Проведем аналогию между формулой Пуазейля (7.8) и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока — объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, элект­рическое сопротивление — гидравлическому сопротивлению:

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость η, длина l трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позво­ляет в некоторых случаях использовать правило нахождения элект­

 
 

рического сопротивления последовательного и параллельного соеди­нений проводников для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, со­единенных последовательно (рис. 7.4, а) и параллельно (рис. 7.4, б), вычисляется соответственно по формулам:

Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим (р1 - р2)/1 градиентом давления dp/dl, и тогда

 
 

Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки (рис. 7.5, а). Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорционально 1: dp/dl = const. Так как величина Q одинакова (несжимаемая жидкость), то [см. (7.12)] градиент давления больше в трубах меньшего радиуса. График зависимости давления от расстояния вдоль труб разного радиуса приближенно показан на рис. 7.5, б.

 





Читайте также:





Читайте также:

©2015 megaobuchalka.ru Все права защищены авторами материалов.

Почему 3458 студентов выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.004 сек.)