Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Перенос молекул (атомов) через мембраны.Уравнение Фика




Важным элементом функционирования мембран является их способность пропускать или не пропускать молекулы (атомы) и ионы. Существенно, что вероятность такого проникновения частиц зависит как от направления их перемещения, например в клетку или из клетки, так и от разновидности молекул и ионов.

Эти вопросы рассматриваются в разделе физики, относящемся - к явлениям переноса. Таким термином называют необратимые F, процессы, в результате которых в физической системе происхо­дит пространственное перемещение (перенос) массы, импульса, энергии, заряда или какой-либо другой физической величины.

К явлениям переноса относят диффузию (перенос массы вещест­ва), вязкость (перенос импульса), теплопроводность (перенос энергии), электропроводность (перенос электрического заряда). Здесь и в следующих параграфах рассматриваются наиболее существенные для биологических мембран явления: перенос вещества и перенос заряда. Как синоним переноса частиц в биофизике широкое распространение получил также термин транспорт частиц.

Выведем основное уравнение диффузии (уравнение Фика), рассматривая процесс переноса в жидкостях.



Пусть через некоторую площадку S (рис. 11.10) во всех направлениях перемещаются молекулы жидкости. Учитывая теорию : молекулярного строения жидкости (см. § 7.6), можно сказать, что молекулы пересекают площадку, перескакивая из одного положения равновесия в другое.

На расстояниях, равных среднему перемещению 5 молекул (сред­нее расстояние между молекулами жидкости), вправо и влево от площадки построим прямоугольные параллелепипеды небольшой толщины l (l <<δ). Объем каждого параллелепипеда равен Sl. Если п — концентрация молекул, то внутри

выделенных параллелепипедов имеет­ся Sin молекул. Предположим, что кон­центрация молекул изменяется в про­странстве, в левом (1) выделенном па­раллелепипеде концентрация равна n1 а в правом (2) — п2. Следовательно, в одном параллелепипеде SZnx молекул, а в другом - Sln2 молекул.

Все молекулы вследствие хаотичного их движения можно ус­ловно представить шестью группами, каждая из которых пере­мещается вдоль или против направления одной из осей коор­динат. Отсюда следует, что в направлении, перпендикулярном площадке S, вдоль оси ОХот первого параллелепипеда переска­кивает 1/6 Sln1 молекул, а противоположно оси ОХ от второго па­раллелепипеда перескакивает 1/6 Sln2 молекул.

 
 

Время Δt «пролета» этими молекулами площадки S может быть найдено следующим образом. Предположим, что все молеку­лы из выделенных объемов движутся с одинаковыми средними скоростями <v>. Тогда молекулы в объеме 1 или 2, дошедшие до площадки S, пересекают ее в течение промежутка времени

Подставляя в (11.1)выражение для средней скорости ύ из (7.20), получаем

Δt=(l/δ)*τ (11.2)

 
 

где т — среднее время «оседлой жизни» молекулы, оно может рассматриваться как среднее время перескока. «Баланс» переноса молекул через площадку S за промежуток времени Δt равен

 
 

Умножая (11.3)на массу тотдельной молекулы и деля на Δt, находим массовый поток сквозь площадку S:

 
 

т. е. масса вещества, которая за 1 с переносится через площадку S. Изменение концентрации п2 - п1 молекул можно представить как произведение dn/dxна расстояние 2δ между выделенными объ­емами:

 

 
 

В уравнении (11.4) заменим Δt согласно (11.2)и (п2 - п1) со­гласно (11.5):

Отношение потока к площади S, через которую он переноситься, называется плотностью потока:

 
 

 
 

Произведение массы молекулы на их концентрацию есть плотность вещества (парциальная плотность):

 

Это есть уравнение диффузии (уравнение Фика), которое обычно записывают в виде:

 
 

Знак «-» показывает, что суммарная плотность потока вещества при диффузии направлена в сторону уменьшения плотности (в сторону, противоположную градиенту плотности), D коэффи­циент диффузии, применительно к рассмотренному примеру диффузии в жидкости он равен

 

Как видно из (11.10),единица измерения коэффициента диффу­зии [м2/с].

Уравнение диффузии можно записать не только для плотности
массового потока кг/(м2*с), но и для плотности потока частиц 1/(м2*с) и плотности потока вещества моль/(м2*с), при этом в уравнении (11.9) вместо градиента плотности следует использовать соот­ветственно градиент концентрации или градиент молярной концентрации

 
 

А. Эйнштейн показал, что коэффициент диффузии пропорционален температуре:

 

 
 

И поэтому вместо (11.11) имеем

 
 

В формуле (11.12) и далее ит — подвижность диффундирующих молекул (частиц), выраженная для моля. Вообще говоря, подвиж­ностью диффундирующей частицы (молекулы, атома, иона, электрона) и называют коэффициент пропорциональности между скоростью v частицы и силой f, двигающей частицу, в том случае, когда на частицу не действуют другие силы (например, трение или соударение с другими частицами) и она перемещается равномерно:

 
 

Как видно из (11.14), единица подвижности 1 м/(с • Н). Величи­ны um и u связаны через постоянную Авогадро:

 
 

Преобразуем уравнение (11.9) применительно к биологической мембране. Будем считать, что концентрация частиц, диффунди­рующих через мембрану, изменяется в мембране по линейному закону (рис. 11.11). Молярные концентрации частиц внутри и вне клетки соответственно равны ci и с0. Молярная концентрация этих же частиц в мембране изменяется от внутренней к наружной ее части соответственно от сmi до см0. Учитывая линейное измене­ние концентрации молекул, запишем

 
 

где I — толщина мембраны, тогда вместо (11.11) имеем

 
 

Практически доступнее определить молярные концентрации час­тиц не внутри мембраны (cMi и см0), а вне мембраны: в клетке (сi) и снаружи клетки (с0). Считают, что отношение граничных значенийконцентраций в мембране равно отно­шению концентраций в прилегающих к мембране слоях: см0Mi = co/ci, откуда

 
 

где k — коэффициент распределения вещества (частиц) между мембраной и окружающей средой (обычно водная фаза). Из (11.18) следует

 

Подставляя (11.19) в (11.17), имеем

       
   
 

Пусть

 

 
 

где Р коэффициент проницаемости. В результате получаем уравнение для плотности потока вещества при диффузии через биологическую мембрану:

 
 

Уравнение Нернста—Планка. Перенос ионов через мембраны

 

Как известно, на мембране существует разность потенциалов, следовательно, в мембране имеется электрическое поле. Оно ока­зывает влияние на диффузию заряженных частиц (ионов и элект­ронов). Между напряженностью поля Е и градиентом потенциала dφ/dx существует известное соотношение (см. § 12.1):

 
 

Заряд иона равен Ze. На один ион действует сила f=Ze(dφ/dx); сила, действующая на 1 моль ионов, равна

где F — постоянная Фарадея, F = eNA.

 
 

Скорость направленного движения ионов пропорциональна действующей силе [см. (11.4), (11.5)]:

Чтобы найти поток вещества (ионов), выделим объем электролита (рис. 11.12) в виде прямоугольного параллелепипеда с ребром, численно равным скорости ионов. Все ионы, находящиеся в параллелепипе­де, за 1 с пройдут через площадку S. Это и будет поток Ф. Число молей этих ионов

 

 
 

можно найти, умножая объем параллелепипеда (vS) на молярную концентрацию ионов с:

 
 

Плотность потока вещества найдем, используя формулы (11.24) и (11.25):

 
 

В общем случае перенос ионов определяется двумя факторами: неравномерностью их распределения, т. е. градиентом концентра­ции [см. (11.11)], и воздействием электрического поля [см. (11.26)]:

Это уравнение НернстаПланка. Используя выражение для подвижности (11.12), преобразуем уравнение (11.27) к виду

 
 

Это другая форма записи уравнения Нернста—Планка

 

Используем уравнение Нернста—Планка для установления за­висимости плотности диффузионного потока от концентрации ионов и от напряженности электрического поля. Предположим, система находится в стационарном состоянии, т. е. плотность по­тока Jпостоянна. Электрическое поле в мембране примем за од­нородное, следовательно, напряженность поля одинакова, а по­тенциал линейно изменяется с расстоянием. Это позволит считать, что , где φм — разность потенциалов на мембране.

Упростим запись слагаемого в уравнении (11.28):

       
   
 

где

— — —

 
 

вспомогательная величина (безразмерный потенциал). С уче­том (11.29) получим уравнение Нернста—Планка в виде

 
 

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение:

 
 

Потенцируя (11.31), получаем

 
 

откуда

 

 
 

Преобразуем формулу (11.32), учитывая выражения (11.19) и (11.20):

 
 

Вообще говоря, формула (11.33) справедлива как для положи­тельных (Z > 0, у > 0), так и для отрицательных {Z < 0, ψ < 0) ионов. Однако для отрицательных ионов целесообразно видоизме­нить это выражение, подставив в него отрицательное значение безразмерного потенциала:

 
 

Разделим числитель и знаменатель этого выражения на е:

При использовании этой формулы необходимо помнить, что отри­цательные значения Z и ψ уже учтены в самой формуле, т. е. ψ— положительная величина.

Уравнения (11.33) и (11.34) устанавливают связь плотности стационарного потока ионов с тремя величинами: 1) проницаемо­стью мембран для данного иона, которая характеризует взаимо­действие мембранных структур с ионом; 2) электрическим полем; 3) молярной концентрацией ионов в водном растворе, окружаю­щем мембрану i и с0).

Проанализируем частные случаи уравнения (11.33):

 
 

а) ψ = 0, что означает либо Z = 0 (нейтральные частицы), либо отсутствие электрического поля в мембране (φм = 0), либо и то, и другое:

 

Найдем пределы отдельных сомножителей.

1. Эту неопределенность можно раскрыть по пра­вилу Лопиталя:

2.Отсюда получаем, как и следовало ожидать, уравнение (11.21):

б) одинаковая молярная концентрация ионов по разные сторо­ны от мембраны (ci = с0 = с) при наличии электрического поля:

 
 

Это соответствует электропроводимости в электролите (см. § 12.9). Для нейтральных частиц (Z = 0 и ψ=0) J = 0;

в) если мембрана непроницаема для частиц (Р = 0), то, естест­венно, плотность потока равна нулю.

Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Читайте также:
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1530)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.023 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7