Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Касательные, параллельные осям координат




Пусть - гладкая кривая, заданная уравнением .

Зафиксируем точку и рассмотрим произвольную прямую , проходящую через эту точку. Пусть произвольная точка линии , – её расстояние до прямой .

Прямая называется касательной к линии в точке , если при стремлении к по линии отношение стремится нулю.

Имеет место

Т е о р е м а. Гладкая кривая имеет в каждой своей точке касательную, причем единственную.

При доказательстве этой теоремы расстояние можно найти как длину вектора и использовать при этом формулу Тэйлора.

Расстояние можно найти как высоту параллелограмма, построенного на векторе и направляющем орте прямой . Тоесть .

Тогда получим, что тогда и только тогда, когда , то есть направляющий орт касательной коллинеарен вектору . Таким образом, направляющим вектором касательной к гладкой кривой в точке является вектор .

а) горизонтальные:


(0)=(0; 0)

( ) =( ; )

( )=( ; )

В этих точках горизонтальные касательные касаются графика функции (t).

б) вертикальные


В этих точках вертикальные касательные касаются графика функции (t).

Обыкновенные точки, подозреваемые на перегиб.



считается непрерывно дифференцируемой в .

называется обыкновенной, если , в противном случае точка - особая.

Теорема. Если - обыкновенная точка по линии 𝜸, то прямая l, проходящая через с направляющим вектором определена однозначно.

Пусть - первая, отличная от нуля производная в точке M и - первая из производных, неколлинеарных вектору . Тогда возможны следующие случаи:

1) p – нечетное, q – нечетное. Следовательно, M – точка перегиба

2) p – нечетное, , q – четное. Следовательно, образ кривой имеет такой же вид, как окрестность обыкновенной точки.

3) p – четное, q – нечетное. Следовательно, точка M – точка возврата 1 рода.

4) p – четное, q – четное. Следовательно, точка M – точка возврата 2 рода.

Найдем вторую производную:

Достаточное условие перегиба:

Первая и вторая производные коллинеарны тогда и только тогда, когда их определитель равен нулю:

 

=0

t=0

t=1-эта точка не входит в область определения.

(0)=(0;0)

p=2

(0) q=3.

Получили, что (0)=(0;0) является точкой возврата I рода.

 

Таблица поведения кривой.

t X(t) Y(t) k  
        симметрия кривой относительно оси Ох установлена
  точка пересечения с осями Ох и Оу
+ -1 +   Вертикальная асимптота
- -1 -   Вертикальная асимптота
y=x- при y=-x+ при Наклонные асимптоты
  Касательная параллельная Ох
-   Касательная параллельная Ох
  Точка возврата I рода
-0,5 0,33 -0,17   Точка пересечения кривой с асимптотой
0,5 0,33 0,17   Точка пересечения кривой с асимптотой

 

12. Изображение кривой.

Рис.4
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Параметрическое задание кривой (функции) является, вообще, говоря, менее удобным по сравнению с явным или неявным заданием, так как при этом приходится исследовать два уравнения, а не одно (у=f(x) в случае явного задания и F(x,y)=0 в случае неявного задания). Важно отметить, что необходимо исследовать систему, т.к. разрозненные в результате исследования данные, относящиеся лишь к одному из уравнений системы, особой ценности не представляют.

В ходе работы была проанализирована научная литература по изучаемой проблеме, раскрыт смысл понятия «параметрически заданная кривая», а также рассмотрены основные положения исследования кривой и построения графиков, что может послужить основой при разработке соответствующих спецкурсов для студентов ВУЗов, а также школьного курса математики.

Исследовав нашу кривую, мы нашли основные данные, представили в виде таблицы, которые являются необходимыми для построения графика.

В ходе исследования были решены все задачи и цель данной работы достигнута.

 

Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Читайте также:
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1236)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.012 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7