Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона

10) Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в 200 независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,3.

Решение

Число испытаний: n = 200.

Число появлений события A: m = 70.

Вероятность появления события A: p = 0,3, значит q = 1 – p = 0,7.

Величина npq = 200∙0,3∙0,7 = 42.

Так как npq > 20, то можно воспользоваться приближенным равенством из локальной теоремы Муавра-Лапласа:

По таблице значений функций Гаусса (приложение 1) находим:

Тогда:

Ответ:

 

11) Вероятность появления события A в каждом из 200 независимых испытаниях постоянна и равна 0,3. Найти вероятность того, что событие A появится не более 70 раз.

Решение

Число испытаний: n = 200.

Вероятность появления события A: p = 0,3, значит q = 1 – p = 0,7.

Величина npq = 200∙0,3∙0,7 = 42.

Так как npq > 20, то можно воспользоваться приближенным равенством из интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

, где

Необходимо найти вероятность того, что событие A появится не более 70 раз, а это значит, что число появлений события A принадлежит промежутку [0; 70], то есть m₁ = 0, m₂ = 70.

По таблице значений функций Лапласа (приложение 2) находим:

Ответ:

 

12) Проведено 300 независимых испытаний с вероятностью появления события A в каждом из них 0,01. Найти вероятность того, что событие A появится точно 1 раз.

Решение

Число испытаний велико: n = 300.

Вероятность появления события A в каждом из них мала: p = 0,01.

Произведение λ = np = 300∙0,01 = 3 меньше 10, значит можно искомую вероятность найти по формуле Пуассона:

Необходимо найти вероятность того, что событие A появится точно 1 раз, значит m = 1:

Значение можно вычислить в MS Excel, если ввести в любую ячейку формулу =Exp(–3) и нажать Enter.

Ответ:

 

Дискретные случайные величины

 

13) В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается четыре выигрыша по 5 тысяч рублей; пять выигрышей по 4 тысячи рублей и одиннадцать выигрышей по 1 тысячи рублей.

а) Составить ряд распределения случайной величины X – размер выигрыша по одному купленному билету.

б) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

в) Записать функцию распределения и построить ее график.

Решение

а) Случайная величина X – размер выигрыша по одному купленному билету.

Возможные значения случайной величины:

0; 1; 4; 5.

Вероятность выиграть 5 тысяч рублей по одному билету:

Аналогично определяются вероятности остальных значений случайной величины.

Ряд распределения имеет вид:

X
p	0,8	0,11	0,05	0,04

 

б) Найдем числовые характеристики случайной величины.

 

в) Найдем функцию распределения случайной величины F(x).

По определению: F(x) = P(X < x).

1) Пусть x = 0, найдем F(x):

F(0) = P(X < 0),

то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше нуля, но это невозможное событие, значит P(X < 0) = 0 и F(0) = 0.

Очевидно, что для всех чисел из промежутка (–∞; 0] значение функции распределения будет таким же:

x ≤ 0: F(x) = 0.

2) Пусть x = 1, найдем F(x):

F(1) = P(X < 1),

то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше 1, т.е. выигрыш будет равен нулю:

F(1) = P(X < 1) = P(X = 0) = 0,8.

Очевидно, что для всех чисел из промежутка (0; 1] значение функции распределения будет таким же:

0 < x ≤ 1: F(x) = 0,8.

3) Пусть x = 4, найдем F(x):

F(4) = P(X < 4),

то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше 4, значит выигрыш равен нулю или равен 1 т.р.:

F(4) = P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,8 + 0,11 = 0,91.

Очевидно, что для всех чисел из промежутка (1; 4] значение функции распределения будет таким же:

1 < x ≤ 4: F(x) = 0,91.

4) Пусть x = 5, найдем F(x):

F(5) = P(X < 5),

то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше 5, значит равен нулю или 1 т.р. или 4 т.р.:

F(5) = P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 4) =

= 0,8 + 0,11 + 0,05 = 0,96.

Очевидно, что для всех чисел из промежутка (4; 5] значение функции распределения будет таким же:

4 < x ≤ 5: F(x) = 0,96.

5) Пусть x > 5, например, x = 6; найдем F(x):

F(6) = P(X < 6),

то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше 6, а это достоверное событие – в любом случае выигрыш будет меньше 6 т.р. (возможные значения 0; 1; 4; 5), поэтому:

F(6) = 1.

Очевидно, что для всех чисел больших 5, то есть из промежутка (5; +∞) значение функции распределения будет таким же:

x > 5: F(x) = 1.

Получаем:

Построим ее график:

 

Ответ: