Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
Пусть функция f Из абсолютных величин приращений функции, отвечающих отдельным частичным промежуткам, образуем сумму Если такие суммы в их совокупности ограничены сверху, то говорят, что функция f
существует. Сначала предположим, что монотонно возрастает: тогда применим критерий предыдущего пункта. По произвольному заданию ввиду равномерной непрерывности функции f откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла. В общем случаи, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции : Так как каждая из сумм и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать. Можно ослабить условия, налагаемые на функцию f II. Если функция f (L=const., ), то интеграл существует. Предположим, что функция не только удовлетворяет условию (6), но и является монотонно возрастающей. Ввиду (6), очевидно, , так что Но последняя сумма при и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции f В общем случаи функции удовлетворяющей условию Липшица (6), представим ее в виде разности Функция , очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции , так как, в силу (6) , при
где абсолютно интегрируема в промежутке [a Пусть , так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена: , то для имеем Таким образом, в этом случаи удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу II. Предположим теперь, что интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, например, b. Прежде всего, т.к. выберем так, чтобы было где - общее колебание функции в рассматриваемом промежутке. Разобьем промежуток [a Она распадается на две суммы из которых первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке а вторая – остальным промежуткам. Последнее содержатся в промежутке [b С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше . Отсюда следует (4), что и требовалось доказать. В общем случаи, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке [a неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как
Замечание. Пусть функция непрерывна в промежутке [a Если абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в III.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (886)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |