Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Постановка задач для уравнений параболического типа





Классическим примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности (диффузии). В одномерном по пространству случае однородное (без источников энергии) уравнение теплопроводности имеет вид

. (2.1)

Если на границах х=0 и х=l заданы значения искомой функции u(x,t) в виде

 

(2.2)

т.е. граничные условия первого рода, и, кроме того, заданы начальные условия

u(x,0)=ψ(x), 0≤xl, t=0, (2.4)

то задачу (2.1)-(2.4) называют первой начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (2.1).

В терминах теории теплообмена u(x,t) – распределение температуры в пространственно-временной области коэффициент температуропроводности, а (2.2), (2.3) с помощью функций ϕ0(t), ϕl(t) задают температуру на границах x=0 и x=l.

Если на границах х=0 и х=l заданы значения производных искомой функции по пространственной переменной

(2.5) (2.6)

т.е. граничные условия второго рода, то задачу (25.1), (2.5), (2.6), (2.4) называют второй начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (2.1). В терминах теории теплообмена на границах в этом случае заданы тепловые потоки.

Если на границах заданы линейные комбинации искомой функции и ее производной по пространственной переменной

(2.7)

(2.8)

т.е. граничные условия третьего рода, то задачу (2.1), (2.7), (2.8), (2.4) называют третьей начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (2.1). В терминах теории теплообмена граничные условия (2.7), (2.8) задают теплообмен между газообразной или жидкой средой и границами расчетной области с неизвестными температурами u(0,t), u(l,t).

Для пространственных задач теплопроводности в области первая начально-краевая задача имеет вид

Аналогично ставится вторая и третья начально-краевые задачи для пространственного уравнения задачи (2.9) – (2.11).

На практике часто ставятся начально-краевые задачи теплопроводности со смешанными краевыми условиями, когда на границах задаются граничные условия различных родов.

2.1.2. Понятие о методе конечных разностей. Применение метода конечных разностей к решению уравнений параболического типа



Основные определения, связанные с методом конечных разностей, рассмотрим на примере конечно-разностного решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности (2.1)-(2.4). Нанесем на пространственно-временную область 0≤x≤l, 0≤t≤T конечно-разностную сетку ω

(2.12)

с пространственным шагом h=l/N и шагом по времени τ=T/K (рис 2.1).

Введем два временных слоя: нижний tk=kτ , на котором распределение искомой функции u(xj,tk), известно (при k=0 распределение определяется начальным условием (2.4) u(xj,t0)=ψ(xj)) и верхний временной слой tk+1=(k+1)τ, на котором распределение искомой функции u(xjj,tk+1), j=0,1,…,N подлежит определению.

 

Рис. 2.1. Конечно-разностная сетка

Сеточной функцией задачи (2.1)-(2.4) (обозначение ) назовем однозначное отображение целых аргументов j, k в значения функции

На введенной сетке (2.12) введем сеточные функции первая из которых известна, вторая – подлежит определению. Для ее определения в задаче (2.1)-(2.4) заменим (аппроксимируем) дифференциальные операторы отношением конечных разностей (см. раздел «Численное дифференцирование»), получим

(2.13)

(2.14)

Подставляя (2.13), (2.14) в задачу (2.1)-(2.4), получим явную конечно-разностную схему для этой задачи в форме

(2.15)

где для каждого j-го уравнения все значения сеточной функции известны, за исключением одного , которое может быть определено явно из соотношений (2.15). В соотношения (2.15) краевые условия (j=0, j=N) входят при значениях j=1 и j=N-1, а начальное условие – при k=0.

Если в (2.14) дифференциальный оператор по пространственной переменной аппроксимировать отношением конечных разностей на верхнем временном слое

(2.16)

то после подстановки (2.13), (2.16) в задачу (2.1)-(2.4), получим неявную конечно-разностную схему для этой задачи

 

(2.17)

Теперь сеточную функцию на верхнем временном слое можно получить из решения СЛАУ (2.17) с трехдиагональной матрицей. Эта СЛАУ в форме, пригодной для использования метода прогонки, имеет вид

где

 

Шаблоном конечно-разностной схемы называют ее геометрическую интерпретацию на конечно-разностной сетке.

Рис. 2.2. Шаблоны явной и неявной конечно-разностных схем для уравнения теплопроводности

На рисунке 2.2 приведены шаблоны для явной (2.15) и неявной (2.17) конечно-разностных схем при аппроксимации задачи (2.1)-(2.4).

Явная конечно-разностная схема (2.15), записанная в форме

(2.18)

обладает тем достоинством, что решение на верхнем временном слое получается сразу (без решения СЛАУ) по значениям сеточных функций на нижнем временном слое , где решение известно (при k=0 значения сеточной функции формируются из начального условия (2.4.)). Но эта же схема обладает существенным недостатком, поскольку она является условно устойчивой с условием , накладываем на сеточные характеристики τ и h.

С другой стороны, неявная конечно-разностная схема (2.17), записанная форме

(2.19)

приводит к необходимости решать СЛАУ, но зато эта схема абсолютно устойчива.

Проанализируем схемы (2.18), (2.19). Пусть точное решение, которое не известно, возрастает по времени, т.е. . Тогда, в соответствии с явной схемой (2.18) разностное решение будет заниженным по сравнению с точным, т.к. определяется по меньшим значениям сеточной функции на предыдущем временном слое, поскольку решение является возрастающим по времени.

Для неявной схемы (2.19) на возрастающем решении, наоборот, решение завышено по сравнению с точным, поскольку оно определяется по значениям сеточной функции на верхнем временном слое.

На убывающем решении картина изменяется противоположным образом: явная конечно-разностная схема завышает решения, а неявная - занижает (см. рис. 2.3)

Рис. 2.3. Двусторонний метод аппроксимации

На основе этого анализа возникла идея о построении более точной неявно-явной конечно-разностной схемы с весами при пространственных конечно-разностных операторах, причем при измельчении шагов τ и h точное (неизвестное) решение может быть взято в ″вилку″ сколь угодно узкую, т.к. если явная и неявная схемы аппроксимируют дифференциальную задачу и эти схемы устойчивы, то при стремлении сеточных характеристик и h к нулю, решения по явной и неявной схемам стремятся к точному решению с разных сторон.

Рассмотрим неявно-явную схему с весами для простейшего уравнения теплопроводности

(2.20)

где θ - вес неявной части конечно-разностной схемы, 1−θ - вес для явной части, причем 0≤θ≤1. При θ=1 имеем полностью неявную схему, при θ=0 - полностью явную схему, и при θ=1/2 - схему Кранка-Николсона. Для схемы Кранка-Николсона (θ=1/2) порядок аппроксимации составляет , т.е. на один порядок по времени выше, чем обычные явная или неявная схемы.

Неявно-явная схема с весами (2.20) абсолютно устойчива при 1/2≤θ≤1 и условно устойчива с условием при 0≤θ<1/2.

Таким образом, схема Кранка-Николсона (2.20) при θ=1/2 абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации по времени и пространственной переменной x.

2.1.3. Аппроксимация граничных условий, содержащих производные

В задачах математической физики вообще, и в задачах теплопроводности в частности, граничные условия 1-го рода аппроксимируются точно в узлах на границе расчетной области. Граничные условия 2-го и 3-го рода отличаются тем, что в них присутствует производная первого порядка искомой функции по пространственной переменной. Поэтому для замыкания конечно-разностной схемы необходима их аппроксимация. Простейшим вариантом является аппроксимация производных направленными разностями первого порядка:

Тогда в общем случае граничных условий 3-го рода (2.7), (2.8) уравнения, связывающие значения искомой функции в двух крайних узлах разностной сетки, выглядят следующим образом:

Дополняя полученными уравнениями явную конечно-разностную аппроксимацию во внутренних узлах, получим явную разностную схему для третьей начально-краевой задачи (2.1), (2.4), (2.7), (2.8).

В результате алгоритм перехода на новый временной слой с использованием явной схемы можно представить в следующем виде:

Т.е. сначала рассчитываются значения искомой функции во всех внутренних узлах на новом временном слое, а затем определяются значения на границах.

При использовании неявной конечно-разностной схемы получаем следующий разностный аналог дифференциальной задачи:

В результате для получения решения на новом временном слое решается система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Аналогичная картина имеет место и при использовании неявно-явной схемы с весами.

Принципиальной особенностью рассмотренного выше подхода является первый порядок аппроксимации граничных условий. Т.е. порядок аппроксимации в граничных узлах ниже порядка аппроксимации во внутренних узлах расчетной области. При этом глобальный порядок аппроксимации (во всей расчетной области) равен наименьшему относительно всех узлов сетки порядку аппроксимации.

Одним из способов повышения порядка аппроксимации граничных условий является использование формул численного дифференцирования второго порядка:

В случае явной схемы алгоритм вычисления решения на новом временном слое при такой аппроксимации граничных условий не приобретает принципиальных изменений. Если же используется неявная схема, то получающаяся при этом СЛАУ теряет трехдиагональный вид (первое и последнее уравнение содержат три неизвестных). Этот недостаток легко устраним, т.к. путем линейной комбинации первого уравнения со вторым (последнего с предпоследним) можно добиться исключения третьего неизвестного из соответствующего уравнения. Однако при этом возможно нарушение диагонального преобладания матрицы и, следовательно, нарушение условий применимости метода прогонки.

Более эффективным является подход, позволяющий повысить порядок аппроксимации граничных условий без увеличения числа узлов в аппроксимационных соотношениях. Для иллюстрации этого подхода рассмотрим следующий пример.

Пример 2.1.

Решить третью начально-краевую задачу для параболического уравнения, содержащего как конвективные члены (пропорциональные производной ), так и источниковые члены, содержащие искомую функцию

(2.21)-(2.24) Решение.

Во внутренних узлах конечно-разностной сетки неявная конечно-разностная схема для уравнения (2.21) имеет вид:

(2.25)

Если производные первого порядка в граничных условиях (2.22) и (2.23) аппроксимировать по следующей схеме (с помощью отношения конечных разностей справа и слева)

то граничные условия аппроксимируются с первым порядком, и глобальный порядок будет равен первому порядку несмотря на то, что во всех остальных узлах порядок аппроксимации по пространственным переменным равен двум. Для сохранения порядка аппроксимации, равного двум, в граничных узлах разложим на точном решении значение в окрестности точки x=0 в ряд Тейлора по переменной x до третьей производной включительно, - в аналогичный ряд в окрестности точки x=l, получим (в предположении что функция u(x,t) в граничных узлах имеет первые производные по времени и вторые - по x):

(2.26)

. (2.27)

Далее, подставим сюда значения второй производной в граничных узлах, полученные из дифференциального уравнения (2.21):

и найдем из полученных выражений (2.26), (2.27) значения первой производной в граничных узлах с порядком

Подставляя в (2.22), а в (2.23) и аппроксимируя полученные соотношения в соответствующих граничных узлах (при этом получим алгебраические уравнения для граничных узлов, в каждом из которых два неизвестных:

(2.28)

(2.29)

Таким образом, (2.28) - конечно-разностная аппроксимация граничного условия 3-го рода (2.22) на левой границе x=0, а (2.29) - конечно-разностная аппроксимация граничного условия 3-го рода (2.23) на правой границе x=l, которые сохраняют тот же порядок аппроксимации, что и в конечно-разностной аппроксимации (2.25) дифференциального уравнения (2.21).

Приписывая к граничным конечно-разностным уравнениям (2.28), (2.29), каждое из которых содержит два значения сеточной функции, алгебраические уравнения (2.25), записанные в виде

(2.30)

получим СЛАУ с трехдиагональной матрицей, решаемую методом прогонки

(2.31)

(j = N, N-1, ... , 0.) (2.32)

Изложенный метод аппроксимации краевых условий, содержащих производные по пространственным переменным, повышает не только порядок аппроксимации, но и сохраняет консервативность конечно-разностной схемы, т.е. в конечно-разностной аппроксимации соблюдаются законы сохранения, на основе которых выведены дифференциальные соотношения задачи (2.21) - (2.24).

Аналогичный подход можно осуществить в краевых задачах для дифференциальных уравнений любых типов.

 

Тема 3. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа Разностные схемы для уравнения колебания струны. Явная схема («крест»). Неявная схема (типа Кранка-Николсона). Порядок аппроксимации. Исследование устойчивости методом Фурье. Семейство схем с весами. Устойчивость. Погрешность аппроксимации. Исследование устойчивости разностных схем для уравнения колебания.

3.1. Постановка задач для уравнений гиперболического типа

Классическим примером уравнения гиперболического типа является волновое уравнение, которое в области 0<x<l, t>0 имеет вид:

Данное уравнение описывает, в частности, процесс малых поперечных колебаний струны. В этом случае u(x,t) - поперечные перемещения (колебания) струны, а – скорость распространения малых возмущений в материале, из которого изготовлена струна.

Если концы струны движутся по заданным законам, то есть на концах заданы перемещения (или значения искомой функции), то первая начально-краевая задача для волнового уравнения имеет вид:


(3.1)- (3.5)

причем, если концы струны жестко закреплены, то ϕ0(t)=ϕl(t)=0.

Как видно, в задачах для волнового уравнения, кроме начального распределения искомой функции, задается еще распределение начальной скорости перемещения.

Если на концах струны заданы значения силы, которая по закону Гука пропорциональна значениям производной перемещения по пространственной переменной (то есть на концах заданы значения первых производных по переменной x), то ставится вторая начально-краевая задача для волнового уравнения:

В условиях, когда концы струны свободны, функции ϕ0(t)=ϕl(t)=0.

Наконец в условиях, когда концы закреплены упруго, т.е. на концевые заделки действуют силы, пропорциональные перемещениям, ставится третья начально-краевая задача для волнового уравнения:

Аналогично ставятся двумерные и трехмерные начально-краевые задачи для двумерного и трехмерного волнового уравнения.

3.2 Конечно-разностная аппроксимация уравнений гиперболического типа

Рассмотрим первую начально-краевую задачу для волнового уравнения (3.1)-(3.5). На пространственно-временной сетке (3.12) будем аппроксимировать дифференциальное уравнение (3.1) одной из следующих конечно-разностных схем:

(3.6) с шаблоном на рисунке 3.1а и

(3.7)

Рис. 3.1. Шаблоны конечно-разностных схем для волнового уравнения

с шаблоном на рисунке 3.1 б

При этом схема (3.6) является явной. С ее помощью решение определяется сразу, поскольку значения сеточных функции , на нижних временных слоях должны быть известны. В соответствии с шаблоном для этой схемы порядок аппроксимации равен двум, как по пространственной, так и по временной переменной. При этом явная конечно-разностная схема (3.6) для волнового уравнения условно устойчива с условием , накладываемым на сеточные характеристики τ , h..

Схема (3.7) является неявной схемой и обладает абсолютной устойчивостью. Ее можно свести к СЛАУ с трехдиагональной матрицей, решаемой методом прогонки.

В обеих схемах необходимо знать значения на нижних временных слоях. Для k=1 это делается следующим образом:

(3.8)

где функция из начального условия (3.5).

Для определения можно воспользоваться простейшей аппроксимацией второго начального условия (3.6):

Откуда для искомых значений получаем следующее выражение:

Недостатком такого подхода является первый порядок аппроксимации второго начального условия. Для повышения порядка аппроксимации воспользуемся следующей процедурой.

Разложим в ряд Тейлора на точном решении по времени в окрестности t=0 :

. (3.9)

Для определения второй производной в выражении (3.9) воспользуемся исходным дифференциальным уравнением .

В результате получаем искомую сеточную функцию со вторым порядком точности:

. После определения из начальных условий значений сеточных функций , на двух первых временных слоях вычислительный процесс продолжается согласно схемам (3.8) или (3.9). При этом аппроксимация краевых условий (3.3) и (3.4) производится аналогично тому, как это описывалось выше для уравнений параболического типа. Для иллюстрации этого этапа рассмотрим следующий пример.

Пример 3.1.

Выписать явную конечно-разностную схему для третьей начально-краевой задачи.

Решение.

Аппроксимация дифференциального уравнения на шаблоне (3.1б) выглядит следующим образом:

где .

Граничные условия аппроксимируем с первым порядком:

. В результате переход на новый временной слой представляется следующим алгоритмом:

Таким образом, сначала рассчитываются значения искомой функции u во внутренних узлах на новом временном слое, после чего из аппроксимации граничных условий находятся значения функции в крайних узлах.

Для окончательного замыкания вычислительного процесса определим, исходя из начальных условий, значения искомой функции на двух первых временных слоях

В начальный момент времени значения определяются точно:

. Если воспользоваться аппроксимацией первого порядка по времени, то как было показано выше, получим

. Для повышения порядка аппроксимации разложим в ряд Тейлора на точном решении по времени в окрестности t=0 :

где, согласно исходному уравнению

Окончательно получаем .

 

Тема 4. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа Задача Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате. Аппроксимация. Однозначная разрешимость. Принцип максимума. Устойчивость. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике. Сложная область. Связные и несвязные области. Метод установления. Явная и неявная схемы. Схема переменных направлений. Анализ явной схемы установления и анализ схемы переменных направлений.

Классическим примером уравнения эллиптического типа является уравнение Пуассона

или уравнение Лапласа при f(x,y)≡0.

Здесь функция u(x,y) имеет различный физический смысл, а именно: стационарное, независящее от времени, распределение температуры, скорость потенциального (безвихревого) течения идеальной (без трения и теплопроводности) жидкости, распределение напряженностей электрического и магнитного полей, потенциала в силовом поле тяготения и т.п.

Если на границе Г расчетной области задана искомая функция, то соответствующая первая краевая задача для уравнения Лапласа или Пуассона называется задачей Дирихле

(4.1)-(4.2)

Если на границе Г задается нормальная производная искомой функции, то соответствующая вторая краевая задача называется задачей Неймана для уравнения Лапласа или Пуассона

(4.3)-(4.4)

При этом n – направление внешней к границе Г нормали.

Более приемлемой является координатная форма краевого условия (4.4)

где − направляющие косинусы внешнего вектора единичной нормали к границе Г, i и j орты базисных векторов.

Наконец третья краевая задача для уравнения Пуассона (Лапласа) имеет вид

4.1. Конечно-разностная аппроксимация задач для уравнений эллиптического типа

 

 

Рис. 4.1. Центрально-симметричный шаблон

Рассмотрим краевую задачу для уравнений Лапласа или Пуассона (4.1), (4.2) в прямоугольнике , на который наложим сетку

(4.5)

На этой сетке аппроксимируем дифференциальную задачу во внутренних узлах с помощью отношения конечных разностей по следующей схеме (вводится сеточная функция ):

(4.6)

которая на шаблоне имеет второй порядок по переменным и , поскольку шаблон центрально симметричен.

СЛАУ имеет пяти-диагональный вид (каждое уравнение содержит пять неизвестных и при соответствующей нумерации переменных матрица имеет ленточную структуру). Решать ее можно различными методами линейной алгебры, например, итерационными методами, методом матричной прогонки и т.п.

Рис.4.2 Центрально- симметричный шаблон

Рассмотрим разностно-итерационный метод Либмана численного решения задачи Дирихле (4.1), (4.2). Для простоты изложения этого метода примем , тогда из схемы (4.6 ) получим (k-номер итерации)

(4.8)

На каждой координатной линии (например, ) с помощью линейной интерполяции (см. рис.4.3) граничных значений определим на нулевой итерации, подставив которые в (4.8), получим распределение на первой итерации

 

Рис. 4.3. К разностно-итерационному методу Либмана

 

Это распределение снова подставляются в (4.8), получаем распределение и т.д. Процесс Либмана прекращается, когда ,

где - наперед заданная точность.

При решении задач с граничными условиями 2-го и 3-го родов наряду с аппроксимацией дифференциального уравнения производится также аппроксимация граничных условий. Здесь в качестве примера приведем разностную схему, аппроксимирующую третью краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике.

Пример

Как и ранее в прямоугольнике построим сетку

На этой сетке аппроксимируем дифференциальную задачу во внутренних узлах по рассмотренной выше центрально-разностной схеме

. Граничные условия аппроксимируем с первым порядком с помощью направленных разностей:

. В результате получена СЛАУ, содержащая уравнений (N1+1)(N2+1)-4 относительно неизвестных (i=0,1,…,N1 , j=0,1,…,N2 ) при этом угловые узлы с координатами (i,j), равными в вычислениях не участвуют). Как и в случае граничных условий первого рода, она имеет пятидиагональный вид и может быть решена, например, итерационным методом Либмана.

Замечание. Метод простых итераций для решения СЛАУ, возникающих при аппроксимации уравнения Пуассона (Лапласа), отличается довольно медленной сходимостью. Этот недостаток может стать существенным при использовании мелких сеток, когда число уравнений в системе становится большим.

Тема 5. Вариационные и вариационно-разностные методы Метод Ритца. Описание метода Ритца. Формулировка метода и применение для решения разностной задачи Дирихле. Построение простейших разностных уравнений диффузии с помощью метода Ритца.

Глава 4, §4.1, §4.2, §4.3, §4.4 В.С. Владимиров, В.В. Жаринов Уравнения математической физики, М.: Физматлит, 2003.

Тема 6. Численные методы решения интегральных уравнений Метод конечных сумм для решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Метод вырожденных ядер. Резольвента. Нахождение собственных значений и собственных функций. Метод наименьших квадратов. Методы Монте-Карло.

Соболь И.М.. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

Соболь И.М.. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985.

Список литературы

Основная:

1 .Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.Э. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. Том 1, изд. 2-е, стереотипное, М.,1975.

4. Ермаков СМ., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. Изд. 2-е. М.: Наука, 1982.

5. Соболь И.М.. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

6. Соболь И.М.. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

8. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.:Наука, 1989.

9. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука. 1986.

10. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 1. М.: Наука, 1976, Т. 2. М.: Наука, 1977.

11.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

12.Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы, введение в теорию. М: Наука, 1977.

13. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М., 1980 – 520 с. с илл.

14. Габассов Р. Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. – Минск: Наука и техника, 1974.

15. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. – Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1977

 

Дополнительная:

1.Шакенов К.К. Методы Монте-Карло и их приложения. Алматы: КазГУ,1993.

2. Дробышевич В.И., Дымников В.П., Ривин Г.С. Задачи по вычислительной математике. М.: Наука, 1980.

3.Копченова Н.В., Марон И.А., Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972.

4.Черкасова М.П. Сборник задач по численным методам. Минск: Высшая школа, 1967.

5.ВазовВ., Дж.Форсайт. Разностные методы решения дифференциальных

уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.

6.Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных

систем уравнений со многими неизвестными. М.: Наука, 1975.

7.Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981.

8.Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, 1983.

9.Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. Л.: ЛГУ, 1988.

10.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970.

 

 





Читайте также:


Рекомендуемые страницы:


Читайте также:
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы...

©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (915)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.051 сек.)