Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы ( Таким образом, Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости. Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору Векторы
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.
Пусть заданы два вектора Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана. Уравнение плоскости в отрезках. Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.
Уравнение плоскости в векторной форме.
a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
В координатах это уравнение имеет вид: xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.
Расстояние от точки до плоскости.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0. Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 Получаем:
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0. Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости Таким образом, вектор нормали Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0. Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Находим координаты вектора нормали 16 + 9 + 144 + D = 0 D = -169 Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1), A4(1; 2; 5). 1) Найти длину ребра А1А2. 2) Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4. Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3. Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3
Найдем угол между вектором нормали и вектором
Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 900 - b.
3) Найти площадь грани А1А2А3. 4) Найти объем пирамиды.
5) Найти уравнение плоскости А1А2А3. Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки. 2x + 2y + 2z – 8 = 0 x + y + z – 4 = 0; При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая решит рассмотренный выше пример для любых координат вершин пирамиды. Для запуска программы дважды щелкните на значке: В открывшемся окне программы введите координаты вершин пирамиды и, нажимите Enter. Таким образом, поочередно могут быть получены все пункты решения. Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
Читайте также: Ex. 1. Раскройте скобки, употребив глагол в одной из форм настоящего времени. Рекомендуемые страницы: Читайте также: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (861)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |