Основная теорема гидростатики
Гидростатическое давление в точке не зависит от направления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям. Докажем, что рх = ру = рz = рn, где рх, рy, рz, рn – представляют собой гидростатическое давление соответственно в направлении координатных осей ox, oy, oz и в некотором произвольном направлении N-N (рис. 2.2).
Рис. 2.2 Выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx, dy, dz, соответственно параллельными координатным осям, и с массой dm = ,
Представим, что жидкость внутри тетраэдра – в виде твердого тела. Это не изменяет условий равновесия. Воспользуемся известными уравнениями статики твердого тела, а именно уравнениями проекций сил и уравнениями моментов: (2.3) Учитывая, что при стягивании тетраэдра в точку, уравнения моментов такой системы удовлетворяются тождественно, а действующие действующие на него силы сводятся к системе сил, проходящих через одну и ту же точку. (2.4) К действующим силам относятся поверхностные и массовые (объемные) силы. К поверхностным силам относятся силы давления жидкости, окружающей элементарный тетраэдр. Таких сил будет четыре (по числу граней). На грань АВС действует сила , (2.5)
Сила dPx параллельна оси ox, направлена в противоположную сторону оси и, следовательно, войдет в уравнение со знаком «плюс». Силы dPy и dPz,действующие на грани ABD и ACD, соответственно параллельны осям oy и oz и их проекции на ось ox равны нулю. Четвертая сила dPn – сила давления на грань ВСD равна: , (2.6)
Проекция этой силы на ось ox: . (2.7) Эта сила направлена в отрицательную сторону оси ox. Произведение dwcos(N,ox) представляет собой проекцию площади треугольника BCD на плоскость уoz и равно: . (2.8) Тогда проекция силы dPn на ось ox численно равна: . (2.9) Аналогично можно записать проекции силы dPn на оси oy и oz: (2.10) Массовые силы, действующие на тетраэдр, приводятся к равнодействующей dR, образующей с координатными осями углы a, b, g и равной: , (2.11)
,
Обозначим проекции ускорения j по координатным осям x, y, z, т.е. примем, что Тогда проекции объемной силы dR равны: (2.12) Запишем сумму проекций всех сил на ось ox с учетом уравнений (2.12): . (2.13) Или после сокращения на dydz: . Пренебрегая dxX как бесконечно малым относительно px и pn, получаем px – pn = 0 или px = pn. Аналогично py = pn и pz = pn. Следовательно, px = py = pz = pn. (2.14) Что и надо было доказать. Таким образом, гидростатическое давление в точке по любому направлению оказывается одинаковым, т.е. не зависит от направления действия.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1054)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |