Операции над множествами
О С Н О В Ы Т Е О Р И И М Н О Ж Е С Т В Понятие множества. Подмножество. Равенство множеств. Операции над множествами. Понятие множества является первичным, исходным и не определяется через другие более простые понятия. Подмножеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а его элементы - малыми. Для того, чтобы показать, что какой-либо объект является элементом того или иного множества, вводится понятие принадлежности. Î - знак принадлежности; аÎА – читается «элемент а принадлежит множеству А»; аÏА – читается «элемент а не принадлежит множеству А». Для наиболее важных числовых множеств используют фиксированные обозначения: ℕ - множество всех натуральных чисел; ℤ - множество всех целых чисел; ℚ - множество всех рациональных чисел; ℝ - множество всех действительных чисел. Множество считается заданным, если по любому объекту можно судить, является ли он элементом данного множества или нет. Основные способы задания множества: 1. С помощью перечисления элементов. Например, если множество А состоит из элементов а1,а2,…,аn, то записывают А={а1,а2,…,аn}. 2. Указанием характеристического свойства элементов: А={x | …} (читается «множество А состоит из элементов х таких, что …). Определение1. Множества А и В называются равными и обозначаются А=В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, и каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Например, пусть А={1,2,3}, В={1,2,1,3}. Тогда А=В. Если множества А и В не равны, то записывают А¹ В. Определение 2. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В и обозначается АÍВ. Í - знак включения. АÍ В – читается «А содержится в В». Определение 3. Если АÍВ и А¹В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается АÌ В. Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ. Пустое множество единственно. Пустое множество является подмножеством любого множества. Операции над множествами Над множествами вводятся три основные операции: 1) пересечение - Ç; 2) объединение - È; 3) разность - \. Определение 5. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В одновременно и обозначается АÇВ, т.е. АÇВ={x| xÎА и xÎВ}. Операции над множествами удобно пояснять на диаграммах Эйлера-Венна. xÎ АÇВ<=> xÎА и xÎВ АÇВ Из определения 5 следует, что xÏ АÇВ<=> xÏА или xÏB. Определение 6. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В, и обозначается: АÈВ, т.е. АÈВ={x| xÎА или xÎВ}. xÎ АÈВ<=> xÎА или xÎВ. Из определения 6 следует, что xÏ АÈВ<=> xÏА и xÏB.
АÈВ Замечание. Если элемент х принадлежит множеству А, то он принадлежит объединению множества А с любым другим множеством. Определение 7. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В, и обозначается: А\В, т.е. А\В={x| xÎА и xÏВ}.
А\В Определение 8. Если АÍВ, то разность В\A называется дополнением к множеству А во множестве В.
Определение 9. Универсальным множеством называется множество, содержащее все рассматриваемые нами множества (в процессе какого-либо рассуждения) в качестве своих подмножеств и обозначается U.
U\A= А - дополнение множества А. Определение 10. Дополнением множества А называется разность U\A и обозначается . Замечание. Из определений 1 и 2 =>А=В<=>АÍВ и ВÍА.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (329)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |