Свойства операций над множествами
Теорема 1. Для произвольных множеств А, В, С справедливы следующие равенства:
Доказательство. Свойства 1, 1', 2, 2', 4, 4', 6-8, 6'-8',10 доказываются на основании определения равенства множеств и операций над множествами. Остальные равенства доказываются методом встречных включений. Докажем, например, свойство 3 методом встречных включений: ( АÇB) ÈС=(АÈС)Ç(ВÈС) X Y Докажем, что X = Y. I. Докажем, что X Í Y. Пусть xÎX => xÎАÇB или xÎC => xÎА и xÎB или xÎC => возможны два случая: 1. xÎА и xÎB; 2. xÎC. 1. Пусть xÎА и xÎB => xÎАÈС и xÎВÈС => xÎ(АÈС)Ç(ВÈС)=Y, т.е. xÎY. 2. Пусть xÎC => xÎАÈС и xÎВÈС => xÎ(АÈС)Ç(ВÈС)=Y, т.е. xÎY. Из 1-2 => X Í Y. II. Докажем, что Y ÍX . Пусть yÎY=>yÎАÈС и yÎBÈC=>(yÎA или yÎC) и (yÎB или yÎC). Возможны четыре случая: 1. yÎA и yÎB. 2. yÎA и yÎC. 3. yÎC и yÎB. 4. yÎC. 1. Пусть yÎA и yÎB=>yÎАÇB=>yÎ( АÇB)ÈС=X, т.е. yÎX. 2. Пусть yÎA и yÎC=>yÎ( АÇB)ÈС=X, т.е. yÎ X. 3. Пусть yÎC и yÎB => yÎ( АÇB)ÈС=X, т.е. yÎX. 4. Пусть yÎC => yÎX. Из 1-4 => YÍX. Из I-II => X = Y. Теорема доказана. Замечание 1. Операции пересечения и объединения можно сформулировать в общем виде для конечного и бесконечного числа множеств. Пусть A1, A2, …, An - множества. Тогда А1ÇА2Ç…ÇАn - множество всех элементов, принадлежащих каждому из множеств А1, …, An ; A1È…ÈAn - множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А1, …, An . Пусть iÎI, I - некоторое множество индексов (конечное или бесконечное), {Bi | iÎI} - совокупность множеств. Тогда дистрибутивные законы и законы де Моргана можно сформулировать в общем виде: AÇ(ÈBi)=È(AÇBi) iÎI iÎI - обобщенные дистрибутивные законы. AÈ(Ç Bi)=Ç(AÈ Bi) iÎI iÎI
Ç Bi=ÈBi iÎI iÎI - обобщенные законы де Моргана. ÈBi=Ç Bi iÎI iÎI
Замечание 2. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В бесконечном случае различают счетные множества (например, ℤ) и множества мощности континуум (например, ℝ ). Если конечное множество M состоит из n элементов, то пишут |M|=n, т.е. |M| -мощность множества M. Таким образом, мощность конечного множества – это число элементов данного множества. Пусть M – множество. Обозначим через P(M) - совокупность всех подмножеств множества M. Утверждение 1. Если |M|=n, то |P(M)|=2n. Например, если А={1,2}, то |A|=2 и |P(A)|=4. Замечание 3. На множестве P(U) (совокупность всех рассматриваемых множеств) нами определены операции È, Ç,` , \, причем всякое множество можно представить в виде множества, содержащего лишь две операции: 1) Ç и ` или 2) È и `. Системы операций 1) и 2) называются минимальными системами операций.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (427)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |