Кинематика твердого тела

Лекция № 8. Основные понятия кинематики и динамики.

1.9.1. Кинематика точки.

1.9.2. Кинематика твердого тела.

1.9.3. Законы динамики. Задачи динамики материальной точки.

1.9.4. Понятия и общие теоремы динамики.

Кинематика точки.

Кинематикой называется раздел динамики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тала), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.

Скорость - это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в дан­ной системе отсчета. Для задания движения точки можно применять один из следующих способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиус-вектором , который является функцией времени = (t). Радиус-вектор движущейся точки М можно представить в виде: .

При координатном способе задания движения положение точки можно задать её декартовыми координатами x, y, z, которые при движении точки будут со временем меняться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значение координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости: x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t).

При естественном способе задания движения подразумевается, что точка двигается по определенной известной заранее траектории. Чтобы задать движение точки естественным способом надо знать траекторию движения точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направления отсчета и закон движения вдоль траектории в виде s=f(t).

Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости точки. Допустим, в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость , а в момент времени она занимает положение М₁ и имеет скорость ₁ , . Разделив приращение вектора на промежуток времени , получим: .

Проекции ускорения точки на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по вре­мени или первым производным по времени от проекции скорости на соответствующие оси . Модуль ускорения определяется формулой: .

Кинематика твердого тела.

Под плоским (или плоскопараллельным) движением твердого тела понимают такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости. Плоская фигура, которая образована сечением тела этой неподвижной плоскостью, все время движения остается в этой плоскости.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно связанные с ним), остаются во время движения неподвижными.

Рассмотрим свойства плоского движения твердого тела. Пусть имеется система точек тела, расположенных на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости Q. Точка С1 движется в плоскости Q1, а точка С2 -в плоскости Q2 .Обе эти плоскости параллельны неподвижной плоскости Q. При движении тела отре­зок С1С2 остается перпендикулярным плоскости Q, т. е. остается параллельным своему начальному положе­нию. Значит, траектории А1 В1, A2B2 точек тела С1, С2.С тождественны и параллельны, их скорости и ускорения равны: . Основываясь на этом свойстве плоского движения твердого тела, получаем, что движение каждой точки плоской фигуры в неподвижной плоскости Q определяет движение всех точек твердого тела, расположенных на перпендикуляре к плоскости Q, восстановленном в этой точ­ке. Таким образом, можно свести изучение плоского движения твердого тела к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости. Значит, движение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как движение прямолинейного отрезка в этой плоскости. Движение плоской фигуры в ее плоскости, а значит, и движение всего тела определяют тремя уравнениями, которые называются уравнениями плоского движения твердого тела: .Зависимость между скоростями точек плоской фигу­ры устанавливается по следующей теореме: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса. Пусть некоторая точка О является полюсом, и скорость в этой точке равна . Найдем скорость любой точки плоской фигуры, к примеру точки A. Для этого проведем из неподвижной плоскости O1, в точки О и А радиус-векторы и . Кроме того, проведем радиус-вектор из полюса О в точку А .За все время движе­ния между радиус-векторами сохраняется следующая зависимость: , где модуль . Отсюда можно определить скорость точки A: - скорость полюса О. При движении плоской фигуры модуль радиус-вектора остается неизменным, а направление его при повороте фигуры изме­няется. Следовательно: .

После подстановки получим .

Следствие 1. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, алгебраически равны.

Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяе­мого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками отрезка.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки.