Задачи для самостоятельного решения. Формула полной вероятности

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из попарно несовместных событий …, называемых гипотезами. Тогда справедлива формула полной вероятности:

т.е. вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Безусловные вероятности рассматриваются как априорные (доопытные) вероятности гипотез.

Предположим, что эксперимент произведён и в результате произошло событие А.Как изменится при этом апостериорная (послеопытная) вероятность гипотез ?

Условные вероятности гипотез при условии, что событие А имело место, вычисляются по формулам Байеса: , где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример 1. Имеется три партии ламп по 20, 30, 50 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из ста данных ламп проработает заданное время?

Решение. Пусть событие А – «выбранная лампа проработает заданное время». Формулируем гипотезы: - «лампа принадлежит первой партии», - «лампа принадлежит второй партии», - «лампа принадлежит третьей партии».

Тогда ; ; .

Условные вероятности по условию соответственно равны

; ; .

По формуле полной вероятности находим

Пример 2. В первом ящике имеются 8 белых и 6 чёрных шаров, а во втором – 10 белых и 4 чёрных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар – чёрный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.

Решение. Пусть событие А – «выбран чёрный шар». Формулируем гипотезы:

- «выбран первый ящик», - «выбран второй ящик».

Тогда . Условные вероятности соответственно равны: , .

По формуле полной вероятности находим

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Стр.1

По формуле Байеса вычисляем искомую вероятность:

.

Задачи для самостоятельного решения.

№1. С первого станка на сборку поступает 40% изготовленных деталей, со второго – 30%, с третьего – 30%. Вероятность изготовления бракованной детали для каждого станка равна соответственно 0,01; 0,03; 0,05. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь оказалась бракованной.

№2. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении 1:2:3, причём вероятности брака для этих заводов соответственно равны 3%, 2%, 1%. Прибор, приобретённый научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор произведён первым заводом?

№3. В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена наугад приглашается один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

№4. Два охотника одновременно и независимо стреляют в кабана, вероятность попадания равна соответственно 0,8 и 0,4. Кабан убит одним из выстрелов. Как делить кабана?

№5. Установлено, что курящие мужчины в возрасте свыше 40 лет умирают от рака лёгких в 10 раз чаще, чем некурящие. Предположим, 60% мужской популяции курит. Найти вероятность того, что мужчина, умерший от рака лёгких, был курящим?

№6. Шейх разгневался на звездочёта и приказал казнить его, но в последний момент передумал и решил дать звездочёту возможность спастись. Он взял два чёрных и два белых шара, отличающихся только цветом, и предложил звездочёту распределить их произвольным образом по двум одинаковым сундукам. Палач должен с завязанными глазами выбрать сундук и достать из него один шар. Если он достанет белый шар, шейх помилует звездочёта, в противном случае – казнит. Как звездочёт должен распределить шары по сундукам, чтобы иметь наибольшие шансы спастись?

№7. Контрольные студентов-заочников попадают для проверки к одному из двух преподавателей. Вероятность того, что контрольная попадёт к первому преподавателю, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что работа будет зачтена первым преподавателем, равна 0,94, а вторым – 0,98. Работа при проверке была зачтена. Найти вероятность того, что её проверил первый преподаватель.

№8. Количество банкнот, поступивших в отделение банка из четырёх магазинов, относится как 4:3:2:1. Среди поступивших банкнот из первого магазина 0,1% банкнот в силу изношенности подлежит замене, из второго магазина таких банкнот 0,2%, из третьего – 0,25%, из четвёртого – 0,5%. Наугад взятая контролёром банкнота не подлежит замене. Какова вероятность того, что контролёр взял банкноту, поступившую из первого магазина?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Стр.2

№9. Число граждан, имеющих высшее образование, обратившихся на биржу труда с тем, чтобы найти работу, относится к числу граждан, имеющих среднее специальное образование, так же обратившихся на биржу труда, как 2:3. Вероятность того, что работу получит гражданин со средним специальным образованием, равна 0,1; а для гражданина с высшим образованием эта вероятность равна 0,2. Человек получил работу. Найти вероятность того, что это человек со средним специальным образованием.

№10. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров успел повторить только 15 билетов из 30., остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведённого времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета, можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?