Умножение вероятностей
Учреждение образования «Белорусская государственная Сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Сложение и умножение вероятностей. Повторные Независимые испытания Сложение вероятностей
Суммой двух совместных событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В. Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении или события А, или события В. Аналогично суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий. Справедлива теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. . Эту теорему можно распространить на любое конечное число несовместных событий. Из данной теоремы следует: сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице; сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. . Пример 1. В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих шара. Шары перемешивают и наугад извлекают один. Какова вероятность того, что шар окажется цветным? Решение. Обозначим события: A={извлечён цветной шар}; B={извлечён белый шар}; C={извлечён красный шар}; D={извлечён синий шар}. Тогда A=C+D. Так как события C, D несовместны, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий: . Пример 2. В урне находятся 4 белых шара и 6 – чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета? Решение. Обозначим события: A={вынуты шары одного цвета}; B={вынуты шары белого цвета}; C={вынуты шары чёрного цвета}. Так как A=B+C и события В и С несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий . Вероятность события В равна , где 4, . Подставим k и n в формулу и получим Аналогично найдём вероятность события С: , где , , т.е. . Тогда . Пример 3. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трёх тузов. Решение. Обозначим события: A={среди вынутых карт не менее трёх тузов}; B={среди вынутых карт три туза}; C={среди вынутых карт четыре туза}. Так как A=B+C, а события В и С несовместны, то . Найдём вероятности событий В и С: , . Следовательно, вероятность того, что среди вынутых карт не менее трёх тузов, равна 0.0022.
Умножение вероятностей Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий: . Это определение распространяется на любое конечное число событий. Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. События , , … , называются независимыми в совокупности, если вероятность наступления каждого из них не зависит от того, произошли или не произошли другие события. Пример 4. Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события: A={первый стрелок попал в цель}; B={второй стрелок попал в цель}. Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы. Справедлива теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: . Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий: . Пример 5. Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка одновременно делают по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель. Решение. Обозначим события: A={первый стрелок попадёт в цель}; B={второй стрелок попадёт в цель}; C={оба стрелка попадут в цель}. Так как , а события А и В независимы, то , т.е. . События А и В называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от того, наступило другое событие или нет. Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается или . Пример 6. В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны извлекаются шары. Обозначим события: A={извлечён белый шар} ; B={извлечён чёрный шар}. Перед началом извлечения шаров из урны . Из урны извлекли один шар и он оказался чёрным. Тогда вероятность события А после наступления события В будет уже другой, равной . Это означает, что вероятность события А зависит от события В, т.е. эти события будут зависимыми. Справедлива теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило, т.е. или . Пример 7. В урне находятся 4 белых шара и 8 красных. Из неё наугад последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными. Решение. Обозначим события: A={первым извлечён чёрный шар}; B={вторым извлечён чёрный шар}. События А и В зависимы, так как , а . Тогда . Пример 8. Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу. Решение. Обозначим события: A={произойдут два попадания в цель}; B={первый стрелок попадёт в цель}; C={второй стрелок попадёт в цель}; D={третий стрелок попадёт в цель}; ={первый стрелок не попадёт в цель}; ={второй стрелок не попадёт в цель}; ={третий стрелок не попадёт в цель}. По условию примера , , , , , . Так как , то используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим: . Пусть события образуют полную группу событий некоторого испытания, а событии А может наступить только с одним из этих событий. Если известны вероятности и условные вероятности события А, то вероятность события А вычисляется по формуле: или . Эта формула называется формулой полной вероятности, а события гипотезами. Пример 9. На сборочный конвейер поступает 700 деталей с первого станка и 300 деталей со второго. Первый станок даёт 0.5% брака, а второй – 0.7%. Найти вероятность того, что взятая деталь будет бракованной. Решение. Обозначим события: A={взятая деталь будет бракованной}; ={деталь изготовлена на первом станке}; ={деталь изготовлена на втором станке}. Вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, равна . Для второго станка . По условию вероятность получения бракованной детали, изготовленной на первом станке, равна . Для второго станка эта вероятность равна . Тогда вероятность того, что взятая деталь будет бракованной, вычисляется по формуле полной вероятности . Если известно, что в результате испытания наступило некоторое событие А, то вероятность того, что это событие наступило с гипотезой , равна , где - полная вероятность события А. Эта формула называется формулой Байеса и позволяет вычислять вероятности событий после того, как стало известно, что событие А уже наступило. Пример 10. Однотипные детали к автомобилям производятся на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 80% общего количества деталей, а второй – 20%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных деталей, а второго – 95%. Покупатель купил одну деталь и она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором заводе. Решение. Обозначим события: A={куплена стандартная деталь}; ={деталь изготовлена на первом заводе}; ={деталь изготовлена на втором заводе}. По условию примера , , и . Вычислим полную вероятность события А: 0.91. Вероятность того, что деталь изготовлена на втором заводе, вычислим по формуле Байеса: .
Формула Бернулли
Испытания называются независимыми, если при каждом из них событие А наступает с одной и той же вероятностью , не зависящей от того, наступило или не наступило это событие в других испытаниях. Вероятность противоположного события в этом случае равна . Пример 11. Бросается игральный кубик n раз. Обозначим событие A={выпадение трёх очков}. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна и не зависит от того, наступило или не наступило это событие в других испытаниях. Поэтому эти испытания являются независимыми. Вероятность противоположного события {не выпадение трёх очков} равна . Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p, событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), вычисляется по формуле , где . Эта формула называется формулой Бернулли и удобна она в том случае, если число испытаний n не слишком велико. Пример 12. Доля плодов, заражённых болезнью в скрытой форме, составляет 25%. Случайным образом отбирается 6 плодов. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется: а) ровно 3 заражённых плода; б) не более двух заражённых плодов. Решение. По условию примера . а) По формуле Бернулли вероятность того, что среди шести отобранных плодов заражёнными окажутся ровно три, равна
0.132. б) Обозначим событие A={заражённых будет не более двух плодов}. Тогда . По формуле Бернулли: 0.178; 0.356; 0.297. Следовательно, 0.178+0.356+0.297=0.831.
Теоремы Лапласа
По формуле Бернулли находится вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях и в каждом испытании вероятность события А постоянна. При больших значениях n вычисления по формуле Бернулли становятся трудоёмкими. В этом случае для вычисления вероятности события А целесообразнее использовать другую формулу. Локальная теорема Лапласа. Пусть вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при достаточно большом числе n испытаний, вычисляется по формуле , где , а значения функции приведены в таблице. Основными свойствами функции являются: Функция определена и непрерывна в интервале . Функция положительна, т.е. >0. Функция чётная, т.е. . Так как функция чётная, то в таблице приведены её значения только для положительных значений х. Пример 13. Всхожесть семян пшеницы составляет 80%. Для опыта отбирается 100 семян. Найти вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90. Решение. По условию примера n=100, k=90, p=0.8, q=1-0.8=0.2. Тогда . По таблице найдём значение функции : . Вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90, равна 0.0044. При решении практических задач возникает необходимость найти вероятность наступления события А при n независимых испытаниях не менее раз и не более раз. Такая задача решается с помощью интегральной теоремы Лапласа: Пусть вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие наступит не менее раз и не более раз при достаточно большом числе испытаний, вычисляется по формуле , где , . Функция называется функцией Лапласа и не выражается через элементарные функции. Значения этой функции приведены в специальных таблицах. Основными свойствами функции являются: . Функция возрастает в интервале . при . Функция нечётная, т.е. . Пример 14. Предприятие выпускает продукцию, из которой 13% не высшего качества. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 единиц продукции высшего качества будет не менее 125 и не более 135. Решение. Обозначим . Вычислим , . Тогда .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (550)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |