Задача № 5.6. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми m и n

Рис. 30

Перпендикуляр, опущенный из любой точки одной прямой на другую, определяет расстояние между прямыми.

Обе параллельные прямые m и n параллельны плоскости П₁. Зададим точку А на прямой m и опустим из этой точки А перпендикуляр на прямую n. Заменим плоскость П₂ на плоскость П₄ так, чтобы она была перпендикулярна к прямой n. Новая ось Х₁₄ проведена перпендикулярно к проекции n₁ прямой n. На линиях связи от новой оси Х₁₄ откладываем отрезки, равные расстояниям от заменяемых проекций А₂ и n₂, точки А и прямой n, до оси Х₁₂.

Получим проекцию А₄ точки А и проекцию n ₄ прямой n.

Расстояние между А₄ и n ₄ и будет искомым.

 

Задача № 5.7. Определить расстояние от точки А до плоскости

a(m ççn)^П₂

Рис. 31

Плоскость a (m ççn)является фронтально проецирующей. Перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость a, параллелен плоскости проекций П₂ и длина проекции его отрезка на этой плоскости проекций П₂ равна искомому расстоянию.

 

Задача № 5.8. Определить расстояние между двумя параллельными плоскостямиa (а ççb) и β (с Ça), a Ùβ ^П₂.

Рис. 32

Решение этой задачи можно свести к определению расстояния от точки К, взятой в плоскости a до другой плоскости β. См. решение задачи № 5.7.

 

Задача № 5.9. Определить угол между пересекающимися прямыми l и m.

Рис. 33

Отмечаем в плоскости a(l Ç m) горизонталь h и поворачиваем плоскость вокруг горизонтали h в положение горизонтальной плоскости. При этом точки 1 и 2, принадлежащие горизонтали, остаются неподвижными. Точка А перемещается по окружности, плоскость которой перпендикулярна к горизонтали. На плоскость П₁ окружность проецируется в отрезок прямой, перпендикулярной к горизонтальной проекции h₁ горизонтали h. Проводим через горизонтальную проекцию А₁ точки А прямую, перпендикулярную к h₁, и отмечаем точку О₁, в которой она пересекает h₁. Точка О₁ - горизонтальная проекция центра О окружности, по которой перемещается точка А. Его фронтальная проекция О₂ принадлежит h₂. Отрезки О₁A₁ и О₂А₂ - горизонтальная и фронтальная проекции радиуса R_A указанной окружности.

Находим длину радиуса R_A, для чего строим дополнительную ортогональную проекции О₄А₄ отрезка ОА на плоскости П₄, проведенный через отрезок ОА и перпендикулярной к П₁.Отложив отрезок О₄А₄ на прямой О₁А₁ и от точки О₁, находим горизонтальную проекцию А¢₁ точки А после поворота. Соединив точку А¢₁ с точками 1₁ и 2₁, получаем проекции l¢₁ и m¢₁ прямых l и m после поворота. Угол j° между ними равен искомому углу.

 

Задача № 5.10.Определить угол между скрещивающимися прямыми h и f

Рис. 34

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными заданным скрещивающимся прямым.

Через точку А на прямой h проводим прямую l, параллельную прямой f. Теперь решение задачи сводится к определению угла между пересекающимися прямыми h и l.

Угол j° между пересекающимися прямыми h и l находим поворотом плоскости, образованной прямыми h и l вокруг фронтали l этой плоскости до положения фронтальной плоскости. Отмечаем на горизонтали h точку В (В₁,В₂) и поворачиваем точку В вокруг фронтали l до положения В¢₂ и угол между прямыми l₂ и h¢₂ =j°- есть искомый угол между прямыми h и f.

 

Задача № 5.11. Определить угол между прямой l и плоскостью a (n Ç f)

Рис. 35 Рис. 36

Углом между прямой и плоскостью считается угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Исходя из этого, решение задачи может быть следующим. Из произвольной точки М прямой l опускаем перпендикуляр n на плоскости a. Находим точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью (точка М_a) и точку К пересечения прямой l с плоскостью a. Через точки К и М_a проводим прямую l_a - проекцию прямой l на плоскости a. Угол j° между прямыми l и l_a - искомый угол.

Решение задачи упрощается, если определить угол ω° ( угол между прямой l и перпендикуляром n). Зная угол ω°, определим искомый угол j°=90° - ω°. Для построения перпендикуляра n, на эпюре n₁ строится перпендикулярно к h₁, а n₂ строится перпендикулярно к f₂. Угол ω° между прямой l и перпендикуляром определяется поворотом плоскости этого угла вокруг горизонтали h*. См. решение задачи № 5.9. Угол j° получается дополнением угла ω° до 90°.

 

Задача № 5.12. Определить угол между плоскостями a (а Ç b) и β (с Ç d).

Рис.37 Рис.38

Угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям.

Из произвольной точки пространства К(К₁, К₂) проведены перпендикуляры t (t₁ ^ a₁, t₂ ^ b₂) к плоскости a(а Ç b) и q(q₁ ^ c_1, q₂ ^ d₂) к плоскости β(с Ç d). Плоскость перпендикуляров t и q повернута вокруг фронтали f(f₁, f₂) до положения фронтальной плоскости. Фронтальные проекции t¢₂ и q¢₂ повернутых перпендикуляров t и q образуют угол j°, равный искомому углу между двумя плоскостями a и β.

 

Задача № 5.13. Определить углы наклона отрезка АВ к плоскостям проекций П₁ и П₂.

Рис. 39

Для решения задачи взята новая плоскость П₄, отвечающая двум условиям: П₄ ^ П₁ и П₄÷÷АВ. В системе П₄ / П₁ прямая АВ стала параллельна плоскости П₄, а поэтому Х₁₄÷÷А₁В₁. На плоскость П₄ без искажения проецируется и отрезок АВ и угол a°, угол между прямой АВ и плоскостью проекций П₁. А чтобы определить угол между прямой АВ и плоскостью проекций П_2, введем ещё одну дополнительную плоскость проекций П₅, отвечающую тоже двум условиям: П₅^П₂ и П₅÷÷АВ. В системе П₅ / П₂ прямая АВ становится параллельна плоскости П₅, и поэтому Х₂₅÷÷А₂В₂. На плоскость П₅ без искажения проецируется и отрезок АВ, и угол β°, угол между прямой АВ и плоскостью проекций П₂.

 

Задача № 5.14. Определить углы наклона плоскости a(а÷÷ b) к плоскостям проекций П₁ и П_2.

Рис. 40

Плоскость a общего положения задана двумя параллельными прямыми а и b. Для решения поставленной задачи нужно новую плоскость проекций расположить перпендикулярно a и одной из плоскостей проекций. Вот почему в заданной плоскости проводим горизонталь и фронталь. Эти линии уровня нужны для ориентировки новых плоскостей проекций П₄ и П₅. Расположив П₄ ^ h (горизонтали плоскости), обеспечиваем выполнение двух условий: новая плоскость П₄ будет перпендикулярна и П_1, и плоскости a, новую ось Х₁₄ проводим под прямым углом к h₁ (горизонтальной проекции горизонтали). Новая проекция плоскости a представляет собой прямую линию a₄. На плоскость П₄, которая перпендикулярна плоскости a и плоскости П₁, без искажения проецируется угол a, ^Ù П₁, образованный плоскостью a с плоскостью П₁.

Для определения угла, образованного плоскостью a с плоскостью проекций П_2, вводим ещё одну дополнительную плоскость П₅ так, чтобы П₅ ^ П₂ и П₅ ^ a нужно расположить П₅ ^ f (фронтали плоскости). На эпюре ось Х₂₅ проводим под прямым углом к f₂ (фронтальной проекции фронтали). Проекция плоскости a представляет собой прямую линию a₅. На плоскости П₅, которая перпендикулярна плоскости a и плоскости П₂, без искажения проецируется угол a,^Ù П₂, образованный плоскостью a с плоскостью П₂.