Геометрические характеристики плоских сечений

 

При деформации изгиба и кручения прочность и жесткость характеризуются не только размерами сечения, но и его формой. К числу геометрических характеристик сечения, учитывающих оба указанных фактора, относятся статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления. Различают осевые, полярные и центробежные моменты инерции.

Осевым моментом инерции сечения называют взятую по всей площади сечения сумму произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до соответствующей оси. Обозначая моменты у инерции относительно осей z и y соответственно через Jz и Jy, имеем:

 

Полярным моментом инерции (моментом инерции относительно полюса) называют взятую по всей площади сечения сумму произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до данного полюса:

 

Центробежным моментом инерции сечения называют взятую по всей площади сечения сумму произведений элементарных площадок на обе координаты в данной прямоугольной системе осей. Обозначая центробежный момент инерции через Jzy имеем:

 

Моменты инерции измеряют в единицах длины в четвертой степени, чаще всего в см⁴.

Из приведенных определений следует, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции ее частей.

Рассмотрим некоторые свойства моментов инерции.

1. Момент инерции относительно полюса, являющегося началом прямоугольной системы координат, равен сумме моментов инерции относительно осей данной системы.

Рис. 90

2. Момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции этого сечения относительно центральной оси, параллельной данной, сложенному с произведением площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Рис. 91

Рассмотрим понятие о главных осях инерции. Две взаимно перпендикулярные оси с началом в данной точке, для которых центробежный момент инерции плоской фигуры равен нулю, называют главными осями инерции фигуры в этой точке. Глазные оси инерции в центре тяжести фигуры называют главными центральными осями инерции.

Легко показать, что в том случае, когда фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, эта ось является одной из главных центральных осей инерции, а другая проходит через центр тяжести фигуры перпендикулярно первой. Если хотя бы одна из двух взаимно перпен­дикулярных осей, проходящих через центр тяжести сечения, является осью симметрии, то такие оси являются главными центральными осями инерции. Для таких сечений, как круг и кольцо любые две взаимно перпендикулярные центральные оси являются главными осями инерции.

В общем случае главные центральные оси инерции фигуры могут быть найдены, если известны ее центробежный Jzy и осевые Jz и Jy моменты инерции относительно произвольно расположенных центральных осей z и у. Для этого систему осей z₁ и у₁ необходимо повернуть на угол , определяемый из соотношения

Моменты инерции относительно главных центральных осей инерции называют главными моментами инерции: они обладают тем свойством, что один из них имеет максимальное, а другой мини­мальное значение по сравнению с моментами инерции относительно остальных центральных осей. Главные моменты инерции

Значения моментов инерции простейших фигур, а также прокатных профилей можно найти в технических справочниках или вычислить по приведенным выше формулам.

Определим величины моментов инерции наиболее распространенных плоских сечений, встречающихся при расчетах и конструировании деталей механизмов.

1. Прямоугольник высотой h и шириной b (Рис. 92),

а). Выделим в прямоугольнике элементарную полоску высотой dy и шириной Ь. Полоска отстоит от центральной оси г, параллельной основанию на расстоянии у, При этом у изменяется в пределах

от + h/ 2 до - h/2

Рис. 92

 

При определении момента инерции относительно оси y имеем

 

Для круга:

Круговое кольцо с наружным диаметром D и внутренним d.

В данном случае полярный момент инерции может быть получен как разность полярных моментов инерции большого и малого круга (рис.92, в).

 

 

 

Растяжение и сжатие

 

Растяжение (сжатие) – это вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает только продольная растягивающая (сжимающая) сила.

В условиях растяжения находится стержень под действием осевых сил на краях (рис. 93)

Рис. 93

 

Передача такого усилия к стержню может осуществляться различными способами, например, через гайку и головку болта в резьбовом соединении. Но во всех случаях равнодействующая внешних сил будет равна F.

Модель растягиваемого стержня используется в расчетах болтов, ремней передач, стержней ферм, лопаток турбин и т. д.

Рис. 94

При осевом растяжении и сжатии внутренние силы в поперечном сечении могут быть заменены одной силой, направленной вдоль оси стержня (рис. 94) — продольной силой N. В случае когда сила направлена к отброшенной части наружу, имеет место растяжение (рис. 94, a). Наоборот, если она направлена от отброшенной части внутрь (рис. 94, б), имеет место сжатие. Будем считать силу N положительной, если она растягивает стержень, и отрицательной – если сжимает.

Рассмотрим пример (рис.95, а).

 

Рис. 95

Здесь сила F приложена в сечении x = a. В любом сечении при x₁ ≥ a (рис.95, б) N(x₁) = 0. Это означает, что часть стержня на этом участке под силой F не нагружена. Проведем второе сечение x₂ ≤ a (рис. 95, в) и рассмотрим равновесие нижней части. Уравнение равновесия относительно оси x:

,.

График изменения внутренних сил (эпюра) приведен на рис. 95, г. Каждая ордината эпюры равна значению N в данном сечении. Эпюру строят на линии, проведенной параллельно оси стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении равно поделенной на площадь сечения продольной силе в этом сечении:

(1)

Таким образом, часть стержня, находящаяся под силой F не напряжена.

При сжатии стержня напряжения имеют лишь другой (отрицательный) знак (нормальная сила направлена в тело стержня).

Под действием осевых растягивающих сил стержень постоянного сечения площадью удлиняется на величину

, (2)

где l ₁, l ₀ − длины стержня в деформированном и недеформированном состоянии, ∆l − абсолютное (полное) удлинение при растяжении (в случае сжатия данная величина называется абсолютным (полным) укорочением).

Экспериментально установлено, что чем больше l ₀, тем больше ∆l. Наиболее удобной мерой деформации является относительное удлинение- удлинение, отнесенное к первоначальной длине стержня,

(3)

Величина ε обычно выражается в процентах от начальной длины. При сжатии ε называют относительным укорочением.

Из опыта следует, что удлинение стержня в осевом направлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров. Следовательно, при растяжении и сжатии возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня.

Если первоначальная ширина стержня a₀, то под действием сил F она уменьшится на величину

(4)

Относительная поперечная деформация будет определяться выражением

(5)

Знак “минус” показывает, что при растяжении стержня поперечные размеры уменьшаются.

Отношение поперечной деформации к продольной при растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называюткоэффициентом Пуассона:

(6)

На основании экспериментов получено: для сталей μ = 0,25...0,3; для алюминиевых сплавов μ = 0,3...0,35; для медных сплавов μ = 0,35.

Между напряжениями и малыми деформациями существует линейная зависимость, называемая законом Гука. Для центрального растяжения (сжатия) она имеет вид

, (7)

где E — коэффициент пропорциональности, именуемый модулем упругости (модулем Юнга). По физическому смыслу модуль упругости — напряжение, которое вызывает деформацию ε = 1 (удлинение стержня, равное первоначальной длине). По данным экспериментов: E = (2...2,2)∙10⁵ МПа — для сталей; E = 1,1∙10⁵ МПа — для титановых сплавов; E = 0,7∙10⁵ МПа—для алюминиевых сплавов.

Для некоторых материалов (например, коррозионно-стойких сталей) закон Гука является приближенным даже при сравнительно небольших деформациях.

С учетом выражений (1) и (3) закон Гука для растянутого (сжатого) стержня (7) можно записать в виде

(8)

где μ — коэффициент продольной податливости стержня, показывающий удлинение (укорочение) стержня, вызываемое растягивающей (сжимающей) силой F = 1 Н. Произведение E A называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Для стержня переменного (ступенчатого) сечения удлинения определяют по участкам (ступеням) и результаты суммируют алгебраически:

(9)

где i − номер участка (i =1,2, ..., n).

При расчете упругих перемещений стержня от нескольких сил часто применяют принцип независимости действия сил: перемещение стержня от действия группы сил может быть получено как сумма перемещений от действия каждой силы в отдельности.

Экспериментально установлено, что модуль упругости E при умеренном нагреве незначительно меняется с температурой, а коэффициент α практически не зависит от напряжения σ. Для стали эта зависимость имеет место до температуры 300...400 ° С. При более высоких температурах необходимо учитывать зависимость модуля упругости E от температуры t.

Следует отметить, что формулы (7)...(8) выведены в предположении, что стержень растянут силами, равномерно распределенными по сечению (рис. 96, а).

При растяжении сосредоточенными силами, как показывают эксперименты и расчеты методами теории упругости, сечения стержня вблизи мест приложения внешних сил в результате деформации искривляются (рис.96,б) возникают большие местные деформации и напряжения.

 

Рис. 96