Решение задач на тему «Растяжение и сжатие»

Задача 1

Построить эпюру распределения продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса (рис. 97). Определить перемещение сечения А−А.

Е = 2·10⁵ МПа, А = 2 см² .

.

Рис. 97

Решение

Разобьем брус на отдельные участки, начиная со свободного конца. Границы участков – сечения, в которых приложены внешние силы и места изменения размеров поперечного сечения. Имеем два участка.

Применяя метод сечений, отбрасываем левую часть бруса. Проведем произвольное сечение на первом участке и рассмотрим равновесие оставшейся части изображенной на рис. 96, проектируя на ось z продольные силы F₁, N₁.

F₁ -N₁ =0

N₁ = F₁=10 кН

Проведем произвольное сечение на втором участке и рассмотрим равновесие оставшейся части изображенной на рис. 98, проектируя на ось z продольные силы F₁, F₂, N₂.

F₁ + F₂-N₂ = 0

N₂ =F₁ + F₂=10+20 = 30 кН

Рис. 98

Построим график (эпюру) показывающую как изменяется N по длине бруса. В пределах одного участка продольная сила не меняется, поэтому эпюра N ограничена линией параллельной оси.

Эпюру нормальных напряжений получим, разделив значения N на соответствующие площади поперечных сечений.

Эпюрой перемещений называется график, показывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине. Эпюру перемещений строят, начиная с защемленного конца. Перемещение произвольного сечения b − b бруса на участке 2 равно удлинению части бруса длиной z₂. На конце второго участка z₂ = 2 м.

Перемещение произвольного сечения a − a бруса на участке 1 равно удлинению части бруса длиной z₁. На конце первого участка z₁ = 3м

Перемещение сечения А−А равно сумме перемещений на первом и втором участке.

Задачи для самостоятельного решения

Стальной стержень переменного сечения находится под действием силы .

Найти наибольшее напряжение в сечении стержня, круглого сечения и определить величину перемещения указанного на рис. 99 сечения.

Таблица 7

Расчетные схемы указаны на рис. 99, а числовые данные приведены в табл. 7.

При расчете можно принимать модуль упругости при растяжении для стали Е = 2·10⁵ МН/м².

Рис. 99

Кручение

При кручении возникает один внутренний силовой фактор — крутящий момент M _z (рис. 100). Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси.

Рис. 100

При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ называемый углом сдвига (угол поворота образующей Поперечные сечения разворачиваются на угол φ, называемый углом закручивания (угол поворота сечения, рис.101).

Длина бруса и размеры поперечного сечения при кручении не изменяются.

Рис. 101

Связь между угловыми деформациями определяется соотношением

;

l - длина бруса; R — радиус сечения.

Длина бруса значительно больше радиуса сечения, следовательно, φ»γ.

Угловые деформации при кручении рассчитываются в радианах.

Гипотезы при кручении

1. Гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформациии остается плоским и перпендикулярным продольной оси.

2. Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не искривляется).

3. Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных сечений не меняются.