Взаимное расположение прямых. Нахождение общих точек
Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием p и α (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде т.е.
(10.11)
Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11). Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель . Получим Это уравнение должно обратиться в (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: Из первых двух равенств находим ,т.е.
Множитель называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.
Пример 10.2. Привести уравнение к нормальному виду.
Решение: Находим нормирующий множитель Умножая данное уравнение на , получим искомое нормальное уравнение прямой:
Пусть заданы прямая L уравнением и точка (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки до прямой L. Решение: Расстояние d от точки до прямой L равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора . Следовательно,
Так как точка принадлежит прямой L, то , т.е. Поэтому
(10.13) что и требовалось получить.
Пример 10.3. Найти расстояние от точки до прямой
Решение: По формуле (10.13) получаем
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и (см. рис. 46). Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .
Решение: Имеем (теорема о внешнем угле треугольника) или Если , то
(10.12)
откуда легко получим величину искомого угла.
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая – второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т.е. Если прямые и параллельны, то и . Из формулы (10.12) следует , т.е. . И обратно, если прямые и таковы, что , то , т.е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: . Если прямые и перпендикулярны, то . Следовательно, . Отсюда , т.е. (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .
Взаимное расположение прямых. Нахождение общих точек. Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны. 1. Пересекающиеся прямые Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку. Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4). . Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые 2. Параллельные прямые На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке). Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны. 3.Скрещивающиеся прямые Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки. На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4). . Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые
.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (733)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |