Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости



2016-01-26 1283 Обсуждений (0)
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости 0.00 из 5.00 0 оценок




 

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где , , - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть - какая угодно точка пространства, d - расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением точки от данной плоскости называется число +d, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число -d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка имеет координаты , , , а плоскость задана нормальным уравнением

,

то отклонение точки от этой плоскости дается формулой

.

Очевидно, .

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирущий множитель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

 

 

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между двумя плоскостями

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Пусть две пересекающиеся плоскости A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2y + B2y + C2z + D2 = 0 имеют нормальные векторы =(A1;B1; C1) и =(A2; B2; C2). Тогда угол между этими плоскостями вычисляется по формуле:

Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Для того чтобы две плоскости были параллельны, их нормальные векторы и должны быть коллинеарны, т.е. , где λ≠0. Если ни одна из координат векторов и не равна нулю, то из последнего равенства следует, что:

A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2,

т.е. коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны.

Для того чтобы плоскости были перпендикулярны, их нормальные векторы и также должны быть перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю: . Отсюда следует, что:

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

 

 

Уравнения прямой в пространстве.

 

 

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a(m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Векторa называется направляющим вектором прямой.

 



2016-01-26 1283 Обсуждений (0)
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1283)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.006 сек.)