Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Методы Ньютона (касательных) и хорд



2016-01-26 1848 Обсуждений (0)
Методы Ньютона (касательных) и хорд 0.00 из 5.00 0 оценок




Для численного решения уравнения методами Ньютона и хорд необходимо, чтобы первая и вторая производные функции f(x) были непрерывны и сохраняли знак на отрезке [a,b], в котором заключен единственный корень x. Из условия постоянства знака первой производной следует единственность корня при на заданном отрезке, а из условия постоянства знака второй производной следует, что выпуклость функции не меняется на вогнутость и наоборот.

Метод Ньютона (метод касательных). Имеется некоторое приближение xn точного значения корня x. Тогда можно записать , где добавку hn считаем малой величиной. Используя разложение функции f(x) в ряд Тейлора около xn до слагаемых первого порядка и приравнивая его к нулю, имеем: . Откуда .

Так как добавка найдена приближенно, то можно сказать, что вычислено новое приближение xn+1 . Таким образом, получена итерационная формула для

В качестве нулевого приближения x0 выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению .

В общем случае, для оценки точности e методом Ньютона недостаточно выполнения условия , однако оно становится применимым с ростом n (при ). Оценить точность можно, пользуясь общей формулой , где – наименьшее значение на отрезке [a,b].

Метод хорд. В методе хорд, в отличие от метода половинного деления, отрезок делится не пополам, а, что более естественно, пропорционально отношению . Если для определенности принять , , а за х точку, в которой производится деление отрезка, то . После преобразований получается: . После деления необходимо сдвинуть один из концов отрезка, так, чтобы корень оказался внутри нового отрезка. Неподвижным выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению ,где или . В итоге итерационная формула для метода хорд принимает вид:

при ,

при .

Итерации можно продолжать до тех пока , это автоматически означает, что .

Ниже представлены примеры уточнения корня уравнения , определенного при , .

Так как , , а на , то в качестве начальной точки для вычислений методом Ньютона необходимо выбрать . Таблица вычислений с помощью метода Ньютона выглядит следующим образом:

 

n - /
-11 -5183 0,666216
-10,3338 308,0859 -4277,06 0,072032
-10,2618 3,293492 -4185,82 0,000787
-10,261 0,000389    

 

Погрешность можно оценить из соотношения . Так как и на отрезке она монотонна, то .

В итоге погрешность уточненного корня не превышает величины .

Для того, чтобы уточнить корень данного примера с помощью метода хорд, необходимо зафиксировать конец отрезка . Таблица вычислений этим методом:

N
-10 -1050 -11 0,766822
-10,2332 -115,797     0,741941
-10,2581 -12,1529     0,739339
-10,2607 -1,26871     0,739067
-10,2609 -0,13238     0,739039
-10,261 -0,01381     0,739036

Погрешность в этом случае можно оценить из разности двух последних приближений, или аналогично тому, как это было сделано ранее для метода Ньютона.

 

Метод итерации.Суть этого метода заключается в том, что уравнение приводится путем тождественных преобразований к виду . Выбирая в области отделения корня начальное приближение x0, получают следующее приближение , затем вычисляют и т.д.. Таким образом, итерационная последовательность вычисляется по рекуррентной формуле: . Если процесс сходится, т.е. существует предел , то , откуда . Следовательно предельное значение итерационной последовательности является корнем исходного уравнения.

Теорема о сходимости метода итерации.

Пусть определена и дифференцируема на отрезке [a,b], тогда, если существует число q такое, что при то:

1) Процесс итерации сходится независимо от начального значения .

2) Предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке [a,b].

При оценке достижения точности ε используется условие: , где на отрезке [a,b]. В частности, при это условие можно заменить на более сильное неравенство .

Для того, чтобы процесс сходился, можно искать из соотношения , где . k имеет тот же знак, что и .

Производная . Очевидно, что , так как отношение может принимать значения в диапазоне от нуля до двух.

 



2016-01-26 1848 Обсуждений (0)
Методы Ньютона (касательных) и хорд 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Методы Ньютона (касательных) и хорд

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1848)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.005 сек.)