Методы Ньютона (касательных) и хорд
Для численного решения уравнения методами Ньютона и хорд необходимо, чтобы первая и вторая производные функции f(x) были непрерывны и сохраняли знак на отрезке [a,b], в котором заключен единственный корень x. Из условия постоянства знака первой производной следует единственность корня при на заданном отрезке, а из условия постоянства знака второй производной следует, что выпуклость функции не меняется на вогнутость и наоборот. Метод Ньютона (метод касательных). Имеется некоторое приближение xn точного значения корня x. Тогда можно записать , где добавку hn считаем малой величиной. Используя разложение функции f(x) в ряд Тейлора около xn до слагаемых первого порядка и приравнивая его к нулю, имеем: . Откуда . Так как добавка найдена приближенно, то можно сказать, что вычислено новое приближение xn+1 . Таким образом, получена итерационная формула для В качестве нулевого приближения x0 выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению . В общем случае, для оценки точности e методом Ньютона недостаточно выполнения условия , однако оно становится применимым с ростом n (при ). Оценить точность можно, пользуясь общей формулой , где – наименьшее значение на отрезке [a,b]. Метод хорд. В методе хорд, в отличие от метода половинного деления, отрезок делится не пополам, а, что более естественно, пропорционально отношению . Если для определенности принять , , а за х точку, в которой производится деление отрезка, то . После преобразований получается: . После деления необходимо сдвинуть один из концов отрезка, так, чтобы корень оказался внутри нового отрезка. Неподвижным выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению ,где или . В итоге итерационная формула для метода хорд принимает вид: при , при . Итерации можно продолжать до тех пока , это автоматически означает, что . Ниже представлены примеры уточнения корня уравнения , определенного при , . Так как , , а на , то в качестве начальной точки для вычислений методом Ньютона необходимо выбрать . Таблица вычислений с помощью метода Ньютона выглядит следующим образом:
Погрешность можно оценить из соотношения . Так как и на отрезке она монотонна, то . В итоге погрешность уточненного корня не превышает величины . Для того, чтобы уточнить корень данного примера с помощью метода хорд, необходимо зафиксировать конец отрезка . Таблица вычислений этим методом:
Погрешность в этом случае можно оценить из разности двух последних приближений, или аналогично тому, как это было сделано ранее для метода Ньютона.
Метод итерации.Суть этого метода заключается в том, что уравнение приводится путем тождественных преобразований к виду . Выбирая в области отделения корня начальное приближение x0, получают следующее приближение , затем вычисляют и т.д.. Таким образом, итерационная последовательность вычисляется по рекуррентной формуле: . Если процесс сходится, т.е. существует предел , то , откуда . Следовательно предельное значение итерационной последовательности является корнем исходного уравнения. Теорема о сходимости метода итерации. Пусть определена и дифференцируема на отрезке [a,b], тогда, если существует число q такое, что при то: 1) Процесс итерации сходится независимо от начального значения . 2) Предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке [a,b]. При оценке достижения точности ε используется условие: , где на отрезке [a,b]. В частности, при это условие можно заменить на более сильное неравенство . Для того, чтобы процесс сходился, можно искать из соотношения , где . k имеет тот же знак, что и . Производная . Очевидно, что , так как отношение может принимать значения в диапазоне от нуля до двух.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1848)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |