Возведение комплексных чисел в натуральную степень
ИКТИБ ИТА ЮФУ
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Лекция 2 Комплексные числа (часть 2)
Что главное мы узнали на прошлой лекции Мы познакомились с алгебраической (декартовой) формой записи комплексных чисел, геометрическим смыслом линейных операций над комплексными числами: сложением , вычитанием и умножения на действительное число. Это, по сути, свойства линейных операций с векторами на плоскости. Если заменить декартову систему координат на плоскости на так называемую полярную систему координат, то удается установить геометрический смысл нелинейных операций над комплексными – умножением и делением комплексных чисел. При переходе к полярной системе координат декартовы координаты заменяются на полярные координаты , которые также однозначно определяют положение точки на плоскости. Формулы , являются формулами перехода к полярной системе координат плоскости.
Что мы узнаем на этой лекции Мы продолжим изучение геометрического смысла нелинейных операций над комплексными. Теперь это будут операции возведения в натуральную степень и извлечения корня из комплексных чисел. Также мы узнаем о некоторых важных свойствах многочленов и решении алгебраических уравнений.
Возведение комплексных чисел в натуральную степень Пусть задано комплексное число в тригонометрической форме. Какое получится число при возведении его в квадрат? Так как при комплексных чисел модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются, то при возведении в квадрат модуль комплексного числа возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2. При возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на . Итак, справедлива формула . Это выражение называется формулой Муавра.
8. Извлечение корня -й степени из комплексных чисел Пусть задано комплексное число в тригонометрической форме. Какое число при возведении его в -ю степень даст нам число, модуль которого равен , а аргумент равен ? Так как возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на , то, очевидно, комплексное число с модулем, равным и аргументом, равным , обладает требуемым свойством. Обратим внимание на то, что при изменении аргумента на значение, равное , после возведения в -ю степень комплексное число изменяет значение аргумента на , т.е. на . А это означает, что таким образом измененное комплексное число также является корнем -й степени из заданного числа . Тем самым мы приходим к формуле , где . Итак, является величиной, принимающей различных значений при . Заметим, что все эти значения корня лежат на окружности радиуса через равные значения аргумента .
Пример 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа , где , , . Решение. План действий следующий. Мы найдем модуль и аргумент чисел , . Затем мы найдем искомый модуль числа, учитывая, что при возведении в степень модуль возводится в эту же степень, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, при делении – соответствующие модули делятся. После этого мы займемся аргументами чисел , и, учитывая соответствующие правила для аргументов, найдем искомый аргумент.
Обратите внимание, что если равно , то равно . Добавочное слагаемое не меняет тангенса аргумента. Оно связано с необходимостью «попасть» в нужную четверть.
Заметим, что , т.е. модуль и аргумент этого числа равны 1 и . Теперь найдем - искомый модуль комплексного числа и одно из значений аргумента , равное . Отсюда главное значение аргумента равно . Ответ. ,
Итак, , , .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (419)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |